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Question

Encontrar $\lim_\limits{x\to 0}\left({\tan x\over x}\right)^{1\over 1-\cos x}$. ¿Hay una manera de hacerlo sin diferenciar tantas veces? Eso es agotador y confuso y probablemente causará errores. Realmente agradecería su ayuda con esto.

Answer 1

Usando el hecho de que, para$x \to 0$, $$ \begin{align} 1 - \cos x &= \frac{x^2}2 + o(x^2)\\ \tan x &= x + \frac{x^3}3 + o(x^3)\\ \ln(1 + x) &= x + o(x), \end {align} $$ podemos reescribir el límite como $$ \begin{align}\lim_{x \to 0}\exp\left(\frac1{1 - \cos x}\ln\left(\frac{\tan x}x\right)\right) &= \lim_{x \to 0}\exp\left(\frac2{x^2}\ln\left(1 + \frac{x^2}3\right)\right) =\\ &= \exp\left(\frac23\right) = \sqrt[3]{e^2}. \end {align} $$

Answer 2

Usando los límites $ \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin (x)} {x} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ tan {x} {1} x {1} y una aplicación de L'Hospital, se obtiene $$ \begin{align} &\lim_{x\to0}\frac1{1-\cos(x)}\log\left(\frac{\tan(x)}x\right)\\ &=\lim_{x\to0}\frac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)}\log\left(1+\frac{\tan(x)-x}x\right)\\ &=\lim_{x\to0}\frac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)}\frac{\tan(x)-x}x\frac{\log\left(1+\frac{\tan(x)-x}x\right)}{\frac{\tan(x)-x}x}\\ &=\lim_{x\to0}\underbrace{\frac{(1+\cos(x))x^2}{\sin^2(x)}}_2\frac{\tan(x)-x}{x^3}\underbrace{\frac{\log\left(1+\frac{\tan(x)-x}x\right)}{\frac{\tan(x)-x}x}}_1\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)-x}{x^3}\\[9pt] &=2\lim_{x\to0}\frac{\tan^2(x)}{3x^2}\\[9pt] &=\frac23 \end {align} $$ Por lo tanto, $$ \ lim_ {x \ To0} \ left (\ frac {\ tan (x)} x \ right) ^ {\ Large \ frac1 {1- \ cos (x)}} = e ^ {2/3}

Answer 3

Utilizando Expansión de Series ,

$\displaystyle\tan x=x+\frac{x^3}3+O(x^5),\cos x=1-\dfrac{x^2}2+O(x^4),$

ps

ps

Recuerda $$\left(\frac{\tan x}x\right)^{\dfrac1{1-\cos x}}=\left(1+\frac{x^2}3+O(x^4)\right)^{\dfrac1{1-\cos x}}$

Answer 4

El uso básico de la serie de Taylor como $x \to 0$, $$ \frac{1}{1-\cos x} = \frac{1}{1-(1-\frac{x^2}{2} + o(x^2))} \sim \frac{2}{x^2} $$ y $$ \log\left(\frac{\tan x}{x}\right) = \log\left(1 + \frac{x^2}{3} + o(x^2)\right) \sim \frac{x^2}{3}. $$ Por lo tanto $$ \frac{\log\left(\frac{\tan x}{x}\right)}{1-\cos x} \sim \frac{2}{x^2}\frac{x^2}{3} = \frac{2}{3} $$ y el resultado sigue tomando exponenciales $$ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} = \lim_{x\to 0} \exp\left[\frac{\log\left(\frac{\tan x}{x}\right)}{1-\cos x}\right] = e^{2/3}. $$

Answer 5

Usa los hechos