Esta es una elaboración en una pregunta/respuesta publicado en MathOverflow.
Según el MO pregunta, la pregunta es (con el error corregido)
Supongamos que el cocycle $u\in C^{2p}(X;Z)$ satisface $\delta u=2a$ algunos $a$.
yo. Mostrar que $u \cup_0 u + u\cup_1 \delta u$ es un cocycle mod 4.
ii. Definir una operación natural, la Pontrjagin plaza, $P_2:H^{2p}(-;Z_2)\rightarrow H^{4p}(-;Z_4)$.
iii. Mostrar que $\rho P_2(u)=u\cup u$ donde $\rho:H^*(-;Z_4)\rightarrow H^*(-;Z_2)$ denota la reducción de la mod 2.
iv. Mostrar que $P_2(u+v)=P_2(u)+P_2(v)+u\cup v$ donde $u\cup v$ se calcula con la no-trivial de emparejamiento $Z_2 \otimes Z_2\rightarrow Z_4$.
Estoy bastante pegado en la parte (iv). Si usted acaba de conectar, expandir todo y simplificar, se obtiene
$P_2(u+v)=P_2(u)+P_2(v)+u\cup_0 v+v\cup_0 u+u\cup_1 \delta v+v\cup_1 \delta u$.
Ahora la respuesta dada en MathOverflow es que $u \cup_0 v$ no es conmutativa "deberá restar fuera un coboundary (que involucra a la taza-1 producto). Así que, esencialmente, usted necesita para tomar la expresión de que usted ya tiene y de introducir la corrección coboundary términos (que no cambie el cohomology de clase) para reducir a la forma que más le interesa."
Ahora la única verdadera taza-1 de producto que parece viable es $$\delta(u \cup_1 v) = -\delta u \cup_1 v - u \cup_1 \delta v + u\cup_0v - v \cup_0 u$$
(o swap $u$ $v$ en la fórmula). Escribo -1, pero estoy pensando en los coeficientes de módulo 4.
No importa lo que haga, me parece que no puede obtener la expresión para simplificar bien. Por otra parte, me di cuenta de que no se puede averiguar qué tipo de expresión da $u \cup v$ - no entiendo muy bien la parte de la informática es el uso de la no-trivial de emparejamiento $Z_2 \otimes Z_2\rightarrow Z_4$. Qué tipo de expresión debería estar buscando?
Actualización: voy a publicar algunos más trabajo aquí. Me estoy centrando en la expresión de $$f=u\cup_0 v+v\cup_0 u+u\cup_1 \delta v+v\cup_1 \delta u$$
Desde el coboundary fórmula de arriba, vemos que podemos escribir esto como (teniendo en cuenta que $\delta(u \cup_1 \delta v)$ no cambia el cohomology de clase, y tomando todo módulo 4)
$$ \begin{align} f &= \delta u \cup_1 v + u \cup_1 \delta v + v \cup_0 u + v\cup_0 u+u\cup_1 \delta v+v\cup_1 \delta u \\ &= \delta u \cup_1 v + 2\left(v \cup_0 u\right) +v\cup_1 \delta u \end{align} $$
Ahora considere el $\delta(\delta u \cup_2 v)$. Por el coboundary fórmula tenemos (nuevo módulo 4)
$$\delta(\delta u \cup_2 v) = - \delta u \cup_1 v - v \cup_1 \delta u$$ y por lo tanto tenemos $$f = 2\left(v \cup_0 u\right)$$
y así
$$P_2(u+v)=P_2(u)+P_2(v)+2\left(v \cup_0 u\right)$$
Esto es correcto? Todavía estoy interesado en cómo llegar a una expresión que implique $u \cup v$?
