Encuentre el máximo y el mínimo de$x^2+2y^2$ if$x^2-xy+2y^2=1$.

Question

Encuentre el máximo y el mínimo de$x^2+2y^2$ if$x,y\in\mathbb R$ y$$x^2-xy+2y^2=1$ $

Mi intento:

Claramente, ya que$x^2-x(y)+(2y^2-1)=0$ y$2y^2-y(x)+(x^2-1)=0$, tenemos que$$\Delta_1=y^2-8y^2+4=4-7y^2\ge 0$ $

y

ps

De modo que$$\Delta_2=x^2-8x^2+8=8-7x^2\ge 0$ y$y^2\le \frac{4}{7}$.

Así,$x^2\le \frac{8}{7}$.

Pero claramente$x^2+2y^2\le \frac{8}{7}+\frac{8}{7}=\frac{16}{7}$, ya que si$x^2+2y^2\neq \frac{16}{7}$, entonces$\begin{cases}x^2=\frac{8}{7}\\y^2=\frac{4}{7}\end{cases}$

Por lo que no se puede lograr la igualdad y solo tenemos ese$x^2-xy+2y^2\neq 1$.

Answer 1

Un enfoque de la desigualdad: el uso de $a^2+b^2\geq 2ab$ la desigualdad de abajo, tenemos $$ x^2-xy+2y^2=1\implica 1+xy=x^2+2y^2\geq2\sqrt{2}xy\implica xy\leq\frac{1}{2\sqrt{2}-1}\cdot $$ De ello se sigue que $$ x^2+2y^2=1+xy\leq 1+\frac{1}{2\sqrt{2}-1}= \boxed{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}}\cdot $$ Del mismo modo, el uso de $a^2+b^2\geq -2ab$, tenemos $$ 1+xy=x^2+2y^2\geq-2\sqrt{2}xy\implica xy\geq-\frac{1}{2\sqrt{2}+1}\cdot $$ lo que implica $$ x^2+2y^2=1+xy\geq 1-\frac{1}{2\sqrt{2}+1}=\boxed{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}}\cdot $$ La igualdad es una realidad para el max $$ y=\frac{1}{\sqrt{-\sqrt{2}+4}},\quad x=\sqrt{2}y; $$ y para min $$ y=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+4}},\quad x=-\sqrt{2}y\cdot $$

Answer 2

Ya tienes una gran respuesta de Kim. Otra forma sería usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para obtener los mismos límites en$xy$:$$(1+xy)^2 = (x^2+2y^2)(2y^2+x^2) \ge 8x^2y^2$ $

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Answer 3

Desde que su respuesta está etiquetada precálculo, me quedo con precálculo métodos. Tenga en cuenta que una forma de solucionar esto sería el uso de multiplicadores de Lagrange de cálculo. Que el cálculo es sencillo, pero los números un poco lioso. (En cierto sentido, la solución a continuación es un multiplicador de Lagrange de la solución, pero sin el cálculo).

En su problema, el primer paso que voy a hacer es cambiar las variables de a $z=\sqrt{2}y$. Entonces, el problema es de maximizar o minimizar

$x^2+z^2$ sujeto a

$x^2-\frac{1}{\sqrt{2}}xz+z^2=1$.

Tenga en cuenta que la función que están maximizando es el cuadrado de la función de distancia desde el origen y la restricción de la igualdad es una elipse centrada en el origen. El punto más cercano al origen es en el eje menor y el punto más alejado del origen sobre el eje mayor. El problema es que estos ejes no son ejes alineados.

En este caso, el eje mayor es a lo largo de la línea de $x=z$ y el eje menor es a lo largo de la línea de $x=-z$. Esto puede ser visto debido a que la ecuación es simétrica en $x$$z$. Ahora, cuando $x=z$, podemos sustituir el $z=x$ a $x^2-\frac{1}{\sqrt{2}}xz+z^2=1$ para obtener

$x^2-\frac{1}{\sqrt{2}}x^2+x^2=1$.

Podemos aislar $x^2$ para obtener

$\left(2-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)x^2=1$ o que

$x^2=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$.

Desde $x=z$, el valor máximo es entonces

$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$.

Por otro lado, a lo largo de la línea de $x=-z$, podemos sustituir en $x^2-\frac{1}{\sqrt{2}}xz+z^2=1$ para obtener

$x^2+\frac{1}{\sqrt{2}}x^2+x^2=1$.

Una vez más, podemos aislar para $x^2$ para obtener

$x^2=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}$.

Desde $x^2=z^2$, el valor mínimo es de

$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}$.