Ideal máximo en un anillo cociente

Question

Consideremos el anillo de $A=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^4+5x-4)$, y considerar el ideal de $\mathfrak{m}=(y, x+2)$. Es $\mathfrak{m}$ máxima?

Mi esbozado solución: consideremos un elemento arbitrario de $A$ y un representante de la $p(x,y)\in \mathbb{C}[x,y]$ de este elemento. A continuación, $p(x,y)$ será de la forma $p(x,y)=y(\ldots)+g(x)$. Ahora por el algoritmo de Euclides, no existe$q,r$, de modo que $g(x)=q(x)(x+2)+r(x)$$deg(r)<1$, es decir, $r(x)=c$ algunos $c\in\mathbb{C}$. Resumiendo, $p(x,y)=y(\ldots)+(x+2)(\ldots)+c$ para un número complejo $c$. Por lo tanto, no existe un surjective homorphism $\mathbb{C}\rightarrow A/\mathfrak{m}$, lo $A/\mathfrak{m}\simeq\text{some quotient of $\mathbb{C}$}$. Claramente debe ser $\mathbb{C}$ sí (ya que es un campo), por lo $A/\mathfrak{m}\simeq \mathbb{C}$, lo que implica que $\mathfrak{m}$ es máxima.

Es una respuesta válida? Gracias de antemano.

Edit: $A=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^4+5x^2-4)$

Answer 1

Como Stefan Walter señaló, es necesario demostrar que el cociente es distinto de cero. Para ver eso, observe que tenemos$$(y^2-x^4+5x^2-4,y,x+2)=(x^4-5x^2+4,y,x+2)=(y,x+2)$ $ So$A/\mathfrak m\cong {\bf C}[x,y]/(x+2,y)\cong {\bf C}[x]/(x+2)\cong {\bf C}$. Dado que el cociente es un campo,$\mathfrak m$ debe ser máximo.

Answer 2

Sí, ya que$\rm\ (y,x\!+\!2)\subset M\:$ tenemos$\rm\:mod\ M\!:\ x\equiv -2,\,y\equiv 0\:\Rightarrow\: p(x,y)\equiv p(-2,0),\,$$\rm\forall\,p\in \Bbb C[x,y].$ Por lo tanto, el mapa natural$\rm\:h:\Bbb C\to A\:$ es surjective. Pero, también debe mostrar que$\rm\,h\,$ es inyectivo. Supongamos que$\rm\:\Bbb c\in ker\, h,\:$$\rm\,c\in \Bbb C.\:$ Then$\rm\:c = (x\!+\!2)\,f + y\, g + (y^2\!-\!x^4\!+\!5x^2\!-\!4)\,h\:$ Por lo tanto, evaluando a$\rm\:f,g,h\in \Bbb C[x,y].\:$ yields% Es inyectivo.