¿Qué son los subobjetos de un colector?

Question

Categóricamente un subobjeto de un objeto $a$ de alguna categoría $A$ es un objeto $a'$ con un morfismo mónico a $a$ , es decir $a'\to a$ hasta el isomorfismo.

Cuando $A$ es un colector topológico o diferencial, ¿qué son los subobjetos de un colector, y son lo mismo que los submanifolds?

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{C}$ sea la categoría de las variedades topológicas (o diferenciales). Los objetos de $\mathcal{C}$ son variedades topológicas (o diferenciales) y los morfismos de $\mathcal{C}$ son mapas continuos (o suaves).

Dejemos que $f\colon X \rightarrow Y$ sea un morfismo en $\mathcal{C}$ . Afirmamos que $f$ es un monomorfismo si y sólo si $f$ es inyectiva.

Supongamos que $f$ es un monomorfismo. Sea $x, y$ sean puntos distintos de $X$ . Dejemos que $p$ ser un $0$ -objeto de dimensión en $\mathcal{C}$ . Existe el morfismo único $g\colon p \rightarrow X$ tal que $g(p) = x$ . Del mismo modo, existe el morfismo único $h\colon p \rightarrow X$ tal que $h(p) = y$ . Desde $g \neq h$ , $fg \neq fh$ . Por lo tanto, $f(x) \neq f(y)$ . Por lo tanto, $f$ es un mapa inyectivo.

A la inversa, supongamos que $f$ es inyectiva. Claramente $f$ es un monomorfismo.

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"¿Son lo mismo que los submanifolds?"

En general, no.

Contraejemplo:

Dejemos que $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ sea el mapa definido por $f(x) = (x^3, 0)$ . $f$ es suave e inyectiva, pero no es una inmersión( $f'(0) = 0$ ). Por lo tanto, $\mathbb{R}$ no puede identificarse con un submanifold de $\mathbb{R}^2$ por $f$ .

Answer 2

Los morfismos mónicos son inyecciones en categorías concretas como la categoría de los colectores, por lo que un subobjeto de un colector $M$ es otro colector con una inyección en $M$ . Esto no es exactamente lo mismo que un submanifold, ya que normalmente se requiere que los submanifolds sean incrustado lo que significa que heredan su topología del colector mayor.

Para un ejemplo de un colector que se inyecta en un colector más grande pero que no está incrustado, veamos $M$ sea un toroide (considerado como un espacio cociente de $\mathbb{R}^2$ bajo traducciones enteras), y que $L$ sea la línea real, mapeada a una línea de pendiente irracional en $\mathbb{R}^2$ y luego se proyecta al toroide. Esto hace que la línea se "envuelva" infinitamente sin tocarse a sí misma. Este mapa es una inyección, por lo que $L$ con este mapa es un subobjeto, pero la imagen no es un colector, ya que cualquier vecindad de un punto contiene infinitas líneas "cercanas".

Edición: Como se señala más adelante, me equivoqué al decir que los morfismos mónicos son inyectivos en todas las categorías concretas. Sin embargo, es cierto para los colectores, como se demuestra en la respuesta de Makoto Kato.