¿Es correcto este razonamiento?
Supongamos que $e=\frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son números naturales tomando el logaritmo natural en ambos lados y usando el hecho de que $\ln e = 1$. Llegamos a $1 = \ln\left(\frac{p}{q}\right)$. Tomando la derivada en ambos lados $0 = \large\frac{1}{\frac{p}{q}}$ llevando $\frac{p}{q}$ al otro lado resulta en $0 = 1$, una absurdidad por lo tanto $e=\frac{p}{q}$ es falso y por lo tanto $e$ es irracional.
¿Qué piensan chicos?
¿Es correcto este razonamiento?
No. La parte de la diferenciación no tiene sentido. Considera hacer lo mismo con $e = C$ para alguna constante $C$. Probaríamos que $e$ de hecho no es un número en absoluto. Esto significaría que una gran cantidad de documentos matemáticos tendrían que ser revocados, y la investigación matemática realmente sufriría un gran golpe.
Y eso no lo queremos.
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No puedes diferenciar, recuerda que $p$ y $q$ son números fijos y no variables (sería como decir $0 = \ln 1$, y al derivar obtienes $0 = \frac1 1 = 1$).
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La diferenciación no tiene sentido en absoluto en este caso. Intenta usar la expansión en series de $e$ para demostrar la irracionalidad de $e$.
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@user148329: No, $p$ es un número fijo (aunque desconocido) aquí, solo puede tener un valor incluso si no conoces este valor.
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Ahora, ¿qué pasa con 3? Siguiendo tu ejemplo, 3 = p/q implica 0 = ln (3) lo cual es absurdo, por lo tanto 3 = p/q es falso y por lo tanto 3 es irracional.
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Gracias chicos, me emocioné al ver el resultado después de 5 minutos de trabajo. Creo que uno puede hacer la diferenciación, sin embargo, el resultado sería 0 = 0 ya que ambos lados de la ecuación son simplemente constantes y no dicen nada sobre e.
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Intenta lo mismo con $2$ en lugar de $e$ y $\log_2$ en lugar de $\ln$ :)
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Buscando una prueba de trabajo: ¿has leído es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_que_e_es_irracional?
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Recuerda, la diferenciación es algo que se hace a funciones, no a números. Es fácil ser descuidado y escribir
5cuando lo que se quiere decir esla función f(x) que es igual a 5 para todo x. Esta última se puede diferenciar para obtener "la función f(x) que es igual a cero para todo x". Lo primero -- el número 5 -- no se puede diferenciar para obtener el número 0.1 votos
Observe cómo su prueba no utilizó el hecho de que p o q son enteros. Esa es una forma segura de saber que hay algo mal en la prueba. En general, si haces una suposición y no la utilizas, la prueba no es diferente a si la suposición fuera excluida.