Prueba $ 2<(1+\frac{1}{n})^{n}$

Question

Cómo demostrar que $ 2<(1+\frac{1}{n})^{n}$ para cada número entero $n>1$ . Estaba pensando que por inducción, funciona para $n=2$ pero luego no pude avanzar.

Answer 1

Pista: Utiliza el teorema del binomio, mira los dos o tres primeros términos.

Answer 2

Puede utilizar La desigualdad de Bernoulli

por cada $ x>-1$ $$\\ { \left( 1+x \right) }^{ n }\ge 1+nx$$

Answer 3

Para mostrar $\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n>2\Longleftrightarrow$ Para mostrar $(n+1)^n>2n^n$

Tenga en cuenta que, para $n>1$ , $$(n+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}n^k>n^n+\binom{n}{1}n^{n-1}=n^n+n^n=2n^n\space\space\space\blacksquare$$

Answer 4

Un enfoque de cálculo: Demostrar que la expresión es mayor que $2$ para $n=2$ $$\left.\left(1+\frac 1 n\right)^n\right|_{n=2}=\frac 9 4 > 2$$ entonces demuestre que la expresión sólo es creciente más allá de $n=2$
$$ \frac{d}{dn}\left[ \left(1+ \frac 1 n \right)^n \right] = \frac{1}{n+1} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \left((n+1)\log\left(1 + \frac 1 n \right) - 1 \right) > 0 \quad \forall n $$

Answer 5

La desigualdad de Bernoulli dice $$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{\left(1+\frac1{n-1}\right)^{n-1}} &=\left(1-\frac1{n^2}\right)^n\frac{n}{n-1}\\ &\ge\left(1-\frac1n\right)\frac{n}{n-1}\\[9pt] &=1 \end{align} $$ Así, $\left(1+\frac1n\right)^n$ es creciente y como $\left(1+\frac12\right)^2=\frac94\gt2$ obtenemos el resultado deseado.