Representantes de $Lie(G)$ Levante a cubierta universal de $G$. ¿Representantes de $G$ descienden a representantes de peso más alto de $Lie(G)$?

Question

Vamos a trabajar sobre un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$. Deje $G$ ser un semisimple, o tal vez reductora algebraica de grupo, así que estamos trabajando con la topología de Zariski. Deje $\mathfrak{g}$ ser la Mentira de álgebra asociada a $G$.

Si es posible, no podríamos apelar a la Mentira de los grupos y/o exponenciación, a menos que nos explique cómo esto se relaciona con la algebraica de grupo, con la topología de Zariski.

1. ¿Cómo hace uno para levantar una representación de$\mathfrak{g}$$G$?
2. Se levanta a una representación de la universalización de la cobertura de $G$?
3. En el contexto Algebraico de los grupos, no puedo usar el exponencial para levantar las representaciones, ya que no es algebraica?
4. ¿Cómo se hace descender una representación de$G$$\mathfrak{g}$?
5. Estos descender a mayor peso de las representaciones?

Básicamente me gustaría entender los functors: $$d:Rep(G)\to Rep(\mathfrak{g}),\qquad \int: Rep(\mathfrak{g})\to Rep(G)$$

• Un ejemplo en $\text{SL}(2,\Bbb C)$ sería bueno, ya que el representante de la teoría es simple.

Answer 1

Aunque sé que preguntaron específicamente por el ejemplo $SL_2$, me voy a tomar un ejemplo pequeño por ahora, ya que todo es un poco más fácil de explicar que hay.

Deje $G = \mathbb{C}^{\times}$ ser el grupo de no-cero de los números complejos en virtud de la multiplicación. Esta es una variedad afín con coordenadas álgebra $k[x,x^{-1}]$. La Mentira de álgebra de $G$ $1$- dimensional, por lo que en particular es abelian.

Ahora, todos los irreductible expresiones algebraicas de $G$ $1$- dimensional, ya que es un toro, por lo que, una irrep está dada por un homomorphism de $G$ a sí mismo. Es un buen ejercicio para demostrar que cualquier homomorphism que también es algebraica es dado por $z\mapsto z^n$ algunos $n\in\mathbb{Z}$. Si trabajamos a través de las definiciones, vemos que la representación de la Mentira álgebra asociada a esta es la dada por la multiplicación por $n$ (desde el álgebra de la Mentira es $1$-dimensional, una representación está dada por un escalar).

Pero ahora también es fácil de construir representaciones de la Mentira de álgebra que no provienen de ninguna representación de la $G$: Acaba de tomar dada por la multiplicación por algo que no es un número entero.

El anterior fue un pequeño ejemplo para ilustrar cómo van las cosas en general, sin embargo, todo se vuelve más complicado cuando las representaciones son no $1$-dimensional.

Un poco más acerca de la situación general: Como se ilustra, de los pesos de las algebraica de los grupos son siempre integral, considerando que este es, por supuesto, no es el caso de álgebras de Lie, por lo que esto pone una restricción en el que las representaciones de la Mentira de álgebra puede venir de la algebraica de grupo (cuando tenemos algún toro que nos permite hacer sentido de pesos). Además, las representaciones algebraica de los grupos con construir-en la finitud de la condición que implica que las correspondientes representaciones de la Mentira álgebra localmente finito (es decir, cualquier subconjunto finito está contenida en un número finito de dimensiones submódulo), por lo que, en particular, no es posible tener infinitas dimensiones irreductibles representaciones, incluso a pesar de que estos abundan, al estudio de semisimple álgebras de Lie.