Suma difícil que implican coeficientes de la Binomial y el seno

Question

Yo estoy perplejo por la suma $$\sum_{x=0}^n \binom{n}{x}\sin\big(\frac{\pi x}{n}\big)$ $ pero no puedo averiguar. He intentado ampliar la serie de taylor del seno y el utilizando la identidad de Euler, pero sin resultado alguno. ¿Cualquier sugerencias?

Por favor no me dan una solución completa, solo necesito un Consejo.

¡Gracias!

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{x = 0}^{n}{n \choose x}\sin\pars{\pi x \over n} & = \Im\sum_{x = 0}^{n}{n \choose x}\expo{\ic\pi x/n} = \Im\sum_{x = 0}^{n}{n \choose x}\pars{\expo{\ic\pi/n}}^{x} = \Im\pars{1 + \expo{\ic\pi/n}}^{n} \\[5mm] & = \Im\bracks{1 + \cos\pars{\pi \over n} + \ic\sin\pars{\pi \over n}}^{\,n} \\[5mm] & = \Im\bracks{\root{2 + 2\cos\pars{\pi \over n}} \exp\pars{\ic\arctan\pars{\sin\pars{\pi/n} \over 1 + \cos\pars{\pi/n}}}}^{\,n} \\[5mm] & = 2^{n/2}\,\bracks{2\cos^{2}\pars{\pi \over 2n}}^{\,n/2}\ \sin\pars{n\arctan\pars{2\sin\pars{\pi/\bracks{2n}}\cos\pars{\pi/\bracks{2n}} \over 2\cos^{2}\pars{\pi/\bracks{2n}}}} \\[5mm] & = 2^{n}\,\verts{\cos\pars{\pi \over 2n}}^{\,n} \sin\pars{n\arctan\pars{\tan\pars{\pi \over 2n}}} \\[5mm] & = 2^{n}\,\verts{\cos\pars{\pi \over 2n}}^{\,n}\sin\pars{\pi \over 2} = \bbx{2^{n}\,\verts{\cos\pars{\pi \over 2n}}^{\,n}} \end{align}