Aproximación racional usando sólo impares numeradores.

Question

Dirichlet simultánea aproximación teorema dice:

Dado cualquier $n$ números reales $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, y para cada número natural $N \in \mathbb{N}$, existen enteros $q \leq N$, e $p_1,\ldots,p_n \in \mathbb{Z}$, tal que:

$$ \Bigg|\alpha_i - \frac{p_i}{q}\Bigg| < \frac{1}{qN^{1/n}} \text{ for } i=1,\ldots,n $$

Me gustaría probar un teorema similar, pero quiero insistir en que el $p_i$ todo ser impar. Es fácil de probar una versión que tiene todas las $p_i$, incluso, porque el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^n$, incluso con las coordenadas de la rejilla.

La versión general de Minkowski del Teorema de decir que un simétrica de la región que contiene el origen, si el volumen es lo suficientemente grande, debe contener un valor distinto de cero celosía punto. Pero el conjunto de puntos con coeficientes impares es sólo un coset de la rejilla de puntos, incluso con los coeficientes.

Esto parece obviamente cierto que uno debe ser capaz de reemplazar el "entramado" con "coset de la red" en Minkowski del Teorema, pero estoy seguro que no veo cómo hacerlo. Puedo conseguir el resultado que desea en una dimensión mediante la modificación de la continuación de la fracción de la construcción, pero que no exporta a $n$ dimensiones. Referencias y conocimientos de la recepción.

Answer 1

El punto principal del teorema de Minkowski es que cuando se toma una proyección geométrica se sabe que el volumen de un determinado conjunto es demasiado grande para no tener la diferencia de dos puntos en una determinada red. En símbolos si $S$ es cualquier subconjunto de tu espacio vectorial (en general localmente compacto grupo), $V$, equipado con una medida de Haar $m$, e $\Lambda$ es una celosía (más generalmente co-compacto, discreto subgrupo) entonces si $S\subseteq V$ $m(S)>m(V/\Lambda)$ tenemos $x\ne y\in S$, de modo que

$$x\equiv y\mod \Lambda.$$

El Minkowski uso de esta crítica lema es sólo que cuando $S$ es convexo y de forma centralizada simétrica, entonces como $2\Lambda$ es también una celosía con

$$m(V/2\Lambda) = 2^nm(V/\Lambda)$$

(en $\Bbb R^n$ $m$ como medida de Lebesgue) al $m(S) > 2^nm(V/\Lambda)$ podemos obtener puntos de $x\equiv y\mod 2\Lambda$. Convexidad y la simetría de la $S$ da

$${1\over 2} (x) + {1\over 2} (-y)={1\over 2} (x-y)\in \Lambda\cap S.$$

Como resultado, su perspectiva acerca de la cosets es exactamente en el punto por esta razón, porque los grupos son tan homogéneos en su estructura.

Pero, ¿cómo, exactamente, ¿este trabajo cuando estamos tratando con un no-red? En general, la prueba demuestra que no existe un verdadero control sobre lo que coset de una sub-red: es muy general, la construcción de un uso muy general suposiciones, sin embargo, ya que la geometría de la situación es relativamente sencillo, se puede aprovechar para algunos avances.

Tenga en cuenta que la situación de aproximación simultánea como se manifiesta en este problema se refiere a un parallelopiped, a saber

$$M^{-1}\bigg(\left[-N-{1\over 2}, N+{1\over 2}\right]\times \left[-N^{-1/d}, N^{-1/d}\right]^{n}\bigg).$$

con

$$M = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && \ldots && 0 \\ \alpha_1 && -1 && 0 && \ldots && 0 \\ \alpha_2 && 0 && -1 && \ldots && 0 \\ \vdots && \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ \alpha_n && 0 && \ldots && 0 && -1 \end{pmatrix}.$$

Por suerte aquí usted puede ver fácilmente cómo afecta la distancia en cada coordenada. En particular, se puede ver que si usted está dispuesto a tener una constante (dependiendo de la dimensión) como un factor de elusión, se puede ampliar el resultado muy fácilmente con sólo hacer su intervalos de un poco más amplia. Tenga en cuenta que la clave de la obstrucción ingenuamente hacer esto es el hecho de que este es un teorema de existencia, lo que significa que esencialmente no hay control sobre lo que los convergentes se verá como cualquier fija $N$ menos que usted está dispuesto a ampliar la hipótesis de que está dispuesto a utilizar un poco (a menos que tengas suerte y que usted escoja un verdadero entramado, como en todos los pares). Sin embargo, si usted está dispuesto a aceptar algunas de las "promedio" de la maquinaria de statstical la teoría de los números, se nota que la densidad del entramado de puntos es inversamente proporcional a la determinante de la red, por lo tanto, no debe ser puntos apropiados de cosets, de hecho la mayoría de ellos están en cosets! Si quieres algo para una elección específica de coset, por ejemplo. todos los numeradores son impares en lugar de sólo algunos numerador es impar, puede utilizar el hecho de que usted está tratando con un parallelopiped, para que puedas entender la relación "espesor" en cualquier dirección dada basado en el $\alpha_i$ en cuestión.