¿Es holomorfa de $f(z)=z^n$?

Question

¿Es holomorfa de $f(z)=z^n$?

He probado un número de otras funciones usando el % de las ecuaciones de Cauchy Riemann $u_x=v_y$, $v_x=-u_y$. Sin embargo en el caso de $f(z)=z^n$ no puedo pensar en una manera de encontrar la funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ sin utilizar una expansión binomial de $(x+iy)^n$.

Se agradece cualquier ayuda o consejos.

Edit - el problema requiere el uso de Cauchy - Riemann ecuaciones y no la definición formal de diferenciación compleja.

Answer 1

La forma más fácil es simplemente la definición

$$\lim_{z\to a}{z^n-a^n\over z-a}=\lim_{z\to a}(z^{n-1}+az^{n-2}+\ldots +a^{n-2}z+a^{n-1})=na^{n-1}$$

por definición, puesto que era arbitrario, $a$ la derivada existe en todos los puntos, $a\in\Bbb C$.

Answer 2

Sugerencia: Demostrar eso si $f=u+iv$ y $g=\hat{u}+i\hat{v}$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces también lo hace en $fg$. Utilice esto junto al hecho de que $z^n$ es un producto finito de funciones holomorphic (ya que $z$ holomorfa).

Answer 3

Considere la función $f(x,y)=(x+iy)^n$. A continuación, las partes real e imaginaria de esta función son $$ u(x,y)=\frac{1}{2}((x+iy)^n+(x-iy)^n)\\ v(x,y)=\frac{1}{2}((x+iy)^n-(x-iy)^n)$$ así $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{n}{2}((x+iy)^{n-1}+(x-iy)^{n-1}) $$ mientras que $$ \frac{\partial v}{\partial y}= \frac{n}{2}(i(x+iy)^{n-1}+i(x-iy)^{n-1}) $$

Compruebe también el resto de Cauchy-Riemann ecuación.

Es legítimo? Sí, por supuesto. Sólo estamos considerando las funciones de $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ y derivados que están perfectamente definidos como de costumbre, con las propiedades habituales.

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Si usted no confía en esto (pero debería), usted puede hacer una prueba por inducción. Denotar por $u_n(x,y)$ $v_n(x,y)$ las partes real e imaginaria de $f(x,y)=(x+iy)^n$. Entonces \begin{align} u_n(x,y)+iv_n(x,y)&=(u_{n-1}(x,y)+iv_{n-1}(x,y))(x+iy)\\ &= (xu_{n-1}(x,y)-yv_{n-1}(x,y))+i(xv_{n-1}(x,y)+yu_{n-1}(x,y)) \end{align} Así \begin{align} u_n(x,y)&=xu_{n-1}(x,y)-yv_{n-1}(x,y)\\ v_n(x,y)&=xv_{n-1}(x,y)+yu_{n-1}(x,y) \end{align} Calcular las derivadas parciales y aplicar la hipótesis de inducción.