Demostrando la desigualdad $\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente desigualdad

Para todos los números positivos $a$, $b$ y $c$ tenemos

$$\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$$

Probablemente puedo solucionar esto mediante la reducción de la desigualdad de Schur. ¿Sin embargo, hay otro método?

Answer 1

$\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c \iff \dfrac{a^3(b+c)}{b^3+c^3}+\dfrac{b^3(a+c)}{a^3+c^3}+\dfrac{c^3(b+a)}{b^3+a^3} \geq a+b+c \iff a^9b+a^9c+b^9a+b^9c+c^9a+c^9b \ge a^7b^3+a^7c^3+b^7a^3+b^7c^3+c^7a^3+c^7b^3$

lema: $a^n+b^n\ge a^{n-1}b+b^{n-1}a \ge a^{n-2}b^2+b^{n-2}a^2 \ge ...$

$a^n+b^n\ge a^{n-1}b+b^{n-1}a \iff (a-b)(a^{n-1}-b^{n-1})\ge 0 \iff (a-b)^2(a^{n-2}+a^{n-3}b+a^{n-4}b^2+....ab^{n-3}+b^{n-2}) \ge 0$

que es cierto, cuando $a=b$ las bodegas "=".

así que tenemos $a^9b+b^9a \ge a^8b^2+a^8b^2 \ge a^7b^3+b^7a^3$

QED.

Answer 2

%#% $#% de cauchy-Schwarz tenemos$$\Longleftrightarrow \dfrac{a^4}{ab^2-abc+ac^2}+\dfrac{b^4}{bc^2-abc+ba^2}+\dfrac{c^4}{ca^2-abc+cb^2}\ge a+b+c$ $\left[ \dfrac{a^4}{ab^2-abc+ac^2}+\dfrac{b^4}{bc^2-abc+ba^2}+\dfrac{c^4}{ca^2-abc+cb^2}\right][bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)-3abc]\ge (a^2+b^2+c^2)^2$ $deje$$\Longleftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\ge (a+b+c)[(bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)-3abc]$ % a=\min{\{a,b,c\}}$por hecho