Cómo demostrar que $I-T$ es suryente, si $\|T\|<1$ ?

Question

Me he atascado en un ejercicio de la página 258, Análisis real (4ed),H.L. Royden et al:

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $T \in \mathcal{L}(X,X)$ tienen $\|T\|<1$ . Demostrar que $I-T$ es un isomorfismo.

$\mathcal{L}(X,X)$ es la colección de todos los operadores lineales acotados de $X$ a $Y$ . $I$ es la función de identidad. Sé que como $T$ es contractiva, $I-T$ debe ser uno a uno. $\|(I-T)(u)\|\leq(1+\|T\|)\|u\|$ y $\|(I-T)^{-1}(u)\|\leq\frac{1}{(1-\|T\|)}\|u\|$ juntos implican que $I-T$ y su inversa son ambas continuas. Pero no tengo ni idea de cómo demostrar que $I-T$ es suryente.

Añadido : Por fin, con abundantes pistas, lo conseguí. Gracias de nuevo.

Answer 1

Compilación de los comentarios en una respuesta:

Desde $\lVert T\rVert \lt 1$ la serie $S = \sum_{n=0}^\infty T^n$ converge porque $\lVert S\rVert \leq \sum_{n=0}^\infty \lVert T\rVert^n = \frac{1}{1-\lVert T\rVert}$ muestra su convergencia absoluta.

Un cálculo directo (serie geométrica) muestra que $$(1-T)S = (1-T)\sum_{n=0}^\infty T^n = 1 +\sum_{n=1}^\infty T^n -\sum_{n=0}^\infty T^{n+1} = 1$$ y de manera similar $S(1-T) = 1$ . Esto implica que $(1-T)$ es invertible con la inversa $S = \sum_{n=0}^\infty T^n$ y se deduce que $(1-T)$ es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Observación: La serie geométrica de los operadores suele llamarse Serie Neumann .