¿Cómo puedo relacionar el movimiento lineal y angular, con una fórmula única?

Question

Quiero relacionar lineales, angulares y de movimiento en una sola fórmula.

Asumir que tengo una 10m de la varilla, y yo se aplica una fuerza de 5N, de 2,5 m de distancia de la eje de rotación de 1s. ¿Cómo puedo determinar la resultante de traslación y de rotación de las velocidades?

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Esta cuestión ha sido objeto de una gran cantidad de cambios a partir de la hora de pedir, ya que se basa en un concepto muy erróneo en mi interpretación de rotación de la dinámica.

Mi error fue pensar que la resultante del movimiento de traslación varía según la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el centro de rotación. Sin embargo, la realidad es que si una fuerza constante aplicada en cualquier punto de un cuerpo rígido sistema, la resultante del movimiento de traslación se mantendrá constante, dado que el tiempo de aplicación es constante así.

¿Qué va a cambiar, sin embargo, es la energía necesaria para mantener esta constante de fuerza a través de una constante de tiempo de duración. Esta energía varía según la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el centro de masa.

Answer 1

El uso de la estructura espacial de la inercia de relacionar lineal/angular impulso a los cambios en el lineal/angular velocidad

$$\begin{pmatrix} \vec{L}\\ \vec{H}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m {\bf 1}_{3×3} & -m [\vec{c}\times] \\ m [\vec{c}\times] & I_{cm}-m [\vec{c}\times][\vec{c}\times] \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \Delta\vec{v}_A\\ \Delta \vec{\omega} \end{pmatrix}$$

_{ref: Newton–Euler ecuaciones de wikipedia.}

donde $\vec{L}$ es net impulso lineal (impulso), $\vec{H}_A$ es el cerca de angular momenum en un punto de Una. $\Delta \vec{v}_A$ es el cambio en la velocidad lineal en el mismo punto y $\Delta{\omega}$ el cambio en la velocidad de rotación.

El escalar masa es $m$ $I_{cm}$ es el momento de inercia en el centro de masa. Finalmente,$[\vec{c}\times$] es el 3×3 de sesgar simétrica la matriz que representa el vector producto vectorial del operador. Ver http://physics.stackexchange.com/a/111081/392. El vector $\vec{c}$ es la ubicación del centro de masa aquí en relación a Una.

La combinación de los impulsos, así como el movimiento resultante es una espacial tornillo de que la relación lineal y angular de las propiedades que se llama una cancha de fútbol. Ver http://physics.stackexchange.com/a/80552/392 en más detalles. También busque en la tabla de abajo para ver cómo extraer el tornillo de propiedades (posición, dirección y tono) de los diferentes tipos de tornillos.

$$ \begin{array}{cccc} \mbox{Property} & \mbox{Velocity (Twist)} & \mbox{Momentum (Wrench)} & \mbox{Force (Wrench)}\\ \hline \mbox{Screw} & \hat{v}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{v}_{A}\\ \vec{\omega} \end{pmatrix} & \hat{\ell}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix} & \hat{f}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{F}\\ \vec{\tau}_{A} \end{pmatrix}\\ \mbox{Dirección} & \vec{e}=\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|} & \vec{e}=\frac{\vec{L}}{|\vec{L}|} & \vec{e}=\frac{\vec{F}}{|\vec{F}|}\\ \mbox{Magnitud} & \omega=|\vec{\omega}| & L=|\vec{L}| & F=|\vec{F}|\\ \mbox{Position} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{L}\times\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{F}\times\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}}\\ \mbox{Pitch} y h=\frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} y h=\frac{\vec{L}\cdot\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} y h=\frac{\vec{F}\cdot\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}} \end{array} $$

PS. Si usted proporciona más detalles específicos de lo que puedo ofrecer con un ejemplo de cómo la anterior me puede utilizarse para obtener lo que desea.

Edición 1

A la inversa espacial de inercia de la matriz es

$$\begin{pmatrix}\Delta\vec{v}_{A}\\ \Delta\vec{\omega} \end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m}-\vec{c}\times I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & \vec{c}\times I_{cm}^{-1}\\ -I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & I_{cm}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix}$$

Este es utilizado en la programación del juego para controlar los impulsos (véase la ecuación 18-8 en http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/notesd2.pdf)

Edit 2

La energía cinética de un cuerpo rígido con 6×6 espacial de inercia de la matriz de $\hat{I}_A$ está definido por

$$K=\frac{1}{2} \hat{v}_A^\top \hat{I}_A \hat{v}_A =\frac{1}{2} \hat{\ell}_A^\top \hat{I}_A^{-1} \hat{\ell}$$

donde$\hat{v}_A = (\vec{v}_A,\vec{\omega})$$\hat{\ell}_A = (\vec{L},\vec{H}_A)$.

La forma más sencilla para ocuparse de su caso es considerar la inercia en el centro de masa y corregir el momento angular como $\vec{H}_C = -\vec{c}\times \vec{L}$ la producción de la espacial impulso tornillo $\hat{\ell}_C = (\vec{L}, -\vec{c} \times \vec{L})$ con el impulso de $\vec{L} = \int \vec{F}\,{\rm d}t$. A la inversa espacial de inercia en el centro de masa está a una cuadra de la diagonal 6×6 matriz $\hat{I}_C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & \\ & I_C^{-1} \end{bmatrix}$ la producción de la energía cinética

$$ K = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix}^{\top}\begin{bmatrix}\frac{1}{m}\\ & I_{C}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix} $$

Lo anterior puede ser ampliado mediante vector identica en

$$\boxed{ K=\frac{1}{2}\vec{L}^{\top}\left(\frac{1}{m}{\bf 1}_{3×3}-[\vec{c}\times] I_{C}^{-1}[\vec{c}\times]\right)\vec{L} }$$

La parte de dentro del paréntesis es la inversa de la masa efectiva del cuerpo rígido sobre el punto Una. La primera parte es debido a que el momento lineal y la segunda parte debido a que el momento angular (fuerza de desplazamiento). Una varilla de longitud $s=10 \rm m$ tiene una masa momento de inercia de la $I_{cm} = {\rm diag}(\frac{1}{12}m s^2, \frac{1}{12}m s^2, 0)$ y el punto de aplicación se encuentra en $a=2.5 \rm m$ a la derecha del centro de masa (con $\vec{c}=(-a,0,0)$).

Si la fuerza aplicada es a lo largo de la vertical, a continuación, $\vec{L} =(0,\int F{\rm d}t,0)$ y la energía cinética es $$K = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{m} + \frac{12 a^2}{m s^2} \right) L^2$$ where $L=\int F{\rm d}t$ es el impusle magnitud.

Edición 3

Por supuesto, usted directamente puede llegar a la anterior mediante la evaluación de la inversa espacial inercia $$\hat{I}_{A}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m} & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12a^{2}}{ms^{2}} & & \frac{12a}{ms^{2}}\\ \vdots & & \ddots\\ 0 & \frac{12a}{ms^{2}} & & \frac{12}{ms^{2}} \end{bmatrix}$$ y mirando a [2,2] elemento (a lo largo de la traslación y el eje).

Dado un impulso a $\vec{L} = (0,J,0)$ el movimiento resultante en el punto de fuerza de Un es $$ \begin{pmatrix} \Delta v_x \\ \Delta v_y \\ \Delta \omega \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2} & \frac{12 a}{m s^2} \\ 0 & \frac{12 a}{m s^2} & \frac{12}{m s^2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ J \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \left(\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2}\right) J\\ \frac{12 a}{m s^2} J \end{pmatrix} $$

Edición 4

El centro de rotación del cuerpo rígido (lo que da una idea de lo mucho que gira en comparación con lo mucho que se traduce) se encuentra (posición del tornillo del eje)

$$ \vec{r}_{rot} = \vec{r}_A + \dfrac{\Delta \vec{\omega} \times \Delta \vec{v}}{|\Delta \vec{\omega}|^2} =\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix} + \frac{(0,0,\frac{12 a}{m s^2}J) \times (0, (\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2})J,0)}{(\frac{12 a}{m s^2}J)^2} =\begin{pmatrix} -\frac{s^2}{12 a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Como se puede ver la cantidad de fuerza (o impulso) es importante, ya que la geometría del problema se define por la línea de acción de la fuerza y las propiedades inerciales de los cuerpos rígidos. En este caso, el centro de rotación en $r=\frac{10}{3}\,{\rm m}$ a la izquierda del centro de masa. La relación de la velocidad lineal del punto de Un a velocidad lineal del centro de masa es $$ \frac{v_A}{v_{cm}} = \dfrac{(a+r)\Delta \omega}{r \Delta \omega} = \dfrac{a+\frac{s^2}{12 a}}{\frac{s^2}{12 a}} = \frac{7}{4} $$

Answer 2

La pregunta es bastante general, pero permítanme tratar de dar algunas respuestas.

¿cómo puedo determinar la resultante de traslación y de rotación de las velocidades?

Para la traslación de la velocidad, el uso de la segunda ley de Newton:

$$\vec F= m \vec a$$

For rotational (angular) velocity, use:

$$\vec \tau=I\vec \alpha$$

To find moment of inertia $I$ you need to know the object geometry. For torque $\vec \tau$ use the definition $\tau=Fr$, where $r$ is the distance to the rotational center (and $F$ must be the perpendicular component).

When you have done this, use the acceleration $\vec un$ and angular acceleration $\vec \alpha$, respectively, to find velocity $\vec v$ and angular velocity $\vec \omega$.

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También estoy buscando las ecuaciones de conexión de traslación de la energía cinética a la energía cinética de rotación en el contexto de la aplicación de torque.

Bueno, esas son dos partes diferentes de energía (y no sé a qué te refieres por in the context of applying torque). El objeto como un todo contendrá la energía total (la suma):

$$K_{trans}+K_{rot}=½mv^2+½I\omega^2$$

Para detener un objeto, usted necesita para absorber tanto el de traslación y el de rotación de la energía cinética. Se puede considerar que esas dos partes por separado.

Si desea equations connecting estas dos energías, debe ser porque de convertir uno en el otro o hacer algún otro proceso que involucra a ambos. Esto depende de lo que usted hace.