Sistemas compactos en $\mathbb R$ están cerrados

Question

¿Cuál es la mejor manera de probar la declaración? Saber la versión de la utilización de intervalos anidados, pero existe otra manera de enfocar el problema?

Answer 1

Que $X \subseteq \mathbb{R}$ ser compacta y que $y \in \mathbb{R} \setminus X$. Basta para probar $\mathbb{R} \setminus X$ es abierto, es decir, que $\mathbb{R} \setminus X$ contiene una bola abierta sobre $y$. Ya que $\mathbb{R}$ es Hausdorff, cada $x\in X$, existe un barrio $U_{x}$ $x$ y $U_{y}^{x}$ $y$ tal que $U_{x}$ y $U_{y}^{x}$ son disjuntos. El conjunto de todas las #% de #% para cada $U_{x}$ % forma una cubierta abierta $x \in X$, así que por la compacidad de $X$, existen finito muchos $X$ $U_{x_{1}}, \ldots, U_{x_{n}}$ que. ¿Puede envolver cosas para arriba desde aquí?

Answer 2

Sí. Que $A$ un conjunto compacto y $p\in\mathbb R\setminus A.$ cada $x\in A,$ sea el intervalo abierto $B_x$ $\left(x-\dfrac{|p-x|}{2},x+\dfrac{|p-x|}{2}\right)$ y $V_x$ el intervalo abierto $\left(p-\dfrac{|p-x|}{2},p+\dfrac{|p-x|}{2}\right).$ luego por la compacidad de $A,$ hay $x_1,x_2,\ldots,x_n\in A$de % que $A\subseteq B_{x_1}\cup\cdots\cup B_{x_n}$ y se sigue que el conjunto de $V_{x_1}\cap\cdots\cap V_{x_n}$ no se entrecruzan $A$ y por lo tanto $p$ es un punto interior de $\mathbb R\setminus A,$ lo que implica que se cierra $A$.

Tenga en cuenta que un argumento similar puede utilizarse para probar que todo subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado.

Answer 3

Si $A \subseteq \mathbb R$ no se cierra, tomar $a \in \overline{A} \setminus A$ y cada $n > 0$ considerar $$U_n = ( - \infty , a - \tfrac{1}{n} ) \cup ( a + \tfrac{1}{n} , + \infty ).$$ Then $\bigcup_n U_n = \mathbb{R} \setminus \ {un \} \supseteq A$, however no finite subfamily of $\ {U_n: n > 0 \}$ can cover $A$ since $a$ is a limit point of $A$ (for each $n > 0 $ there is an $x \in A $ such that $ | x - un | < \frac{1}{n}$).

Por lo tanto $A$ no puede ser compacto.

(Esto para alterar un un general espacio métrico $(X,d)$, tomar $U_n = \{ x \in X : d(x,a) > \frac{1}{n} \}$.)