Muestran que

Question

Fijo $k\ge 1$. Mostrar que para cada $r$, usted puede encontrar $a_1,\cdot\cdot\cdot,a_r\in \mathbb{F}$ tal que: % $ $$(1+a_1x+\cdot\cdot\cdot+a_rx^r)^k=1+x+x^{r+1}q(x)$$q(x)$Dónde está un polinomio.

¿Alguna idea?

He intentado utilizar la inducción como sigue:

para el caso base, $r=1:$

Deseamos que %#% $ #%

Puesta en $$(1+a_1x)^k = 1+x+x^2q(x)$ obtenemos:

$a_1 = 1$$

$$1 + x + \text{other terms} = 1 + x + x^2q(x)$$

Answer 1

Si el campo $\mathbb{F}$ tiene características de las $p \neq 0$, e $p \mid k$, entonces los solicitados $a_1,\dots, a_r$ no existen: escrito $k=pk'$, tenemos \begin{align*} (1+a_1x+\cdots+a_rx^r)^k &= ((1+a_1x+\cdots+a_rx^r)^p)^{k'}\\ &= (1+a_1^px^p+\cdots+a_r^px^{rp})^{k'} \end{align*} que tiene un cero coeficiente de $x$ y por lo tanto no se puede poner en la forma $1+x+x^2q(x)$.

Así que supongamos que $\mathbb{F}$ tiene características de 0 o que $p \nmid k$. Para reformular el problema, estamos buscando un polinomio $f$ grado $r$ con término constante 1 tal que $$f^k \equiv 1+x \pmod{x^{r+1}}$$ Como se ha sugerido, podemos encontrar un polinomio por inducción en $r$. El caso base $r=0$ es trivial (solo tome $f=1$). Para el paso inductivo, supongamos que tenemos un polinomio $f$ grado $r$ satisfacer las condiciones requeridas. Entonces $$f^k \equiv 1+x+cx^{r+1} \pmod{x^{r+2}}$$ para algunos $c\in\mathbb{F}$. Si establecemos $g=f+a_{r+1}x^{r+1}$ (donde $a_{r+1}$ aún está por determinar), entonces por el teorema del binomio, y usando el hecho de que $f$ (y, por tanto,$f^{k-1}$) tiene término constante 1, \begin{align*} g^k &= (f+a_{r+1}x^{r+1})^k \\ &\equiv f^k + ka_{r+1}f^{k-1}x^{r+1} \\ &\equiv 1+x+(c+ka_{r+1})x^{r+1} \pmod{x^{r+2}} \end{align*} Si establecemos $a_{r+1}=-c/k$, $g^k$ satisface las condiciones requeridas, para completar la prueba.