¿Obtención de probabilidades irracionales a partir de monedas justas?

Question

Supongamos que tengo acceso a una moneda justa. ¿Es posible encontrar un procedimiento que (1) devuelva VERDADERO con una probabilidad irracional (digamos $1/\sqrt{2}$ ) y FALSE en caso contrario, y (2) termina en un tiempo finito?

Yo pensaría que no, porque al fin y al cabo sólo estoy asignando VERDADERO o FALSO a secuencias de lanzamientos de monedas, y cualquier asignación de este tipo resulta en una probabilidad racional. Sin embargo, no creo que sea malo preguntar: ¿hay alguna forma extraordinariamente inteligente de extraer probabilidades irracionales?

[Editar] ¿Y si relajamos la condición (2) a "termina con probabilidad 1"? (¡Gracias usuario6312!)

Answer 1

Depende de lo que quieras decir con "termina en un tiempo finito". Esto podría significar:

1. Siempre termina en un tiempo finito, o

2. Termina en un tiempo finito con probabilidad 1.

Si te refieres a lo primero, tienes razón en que cualquier evento que dependa de un número finito de lanzamientos de monedas tendrá una probabilidad racional.

Sin embargo, si se permiten procesos que terminan con probabilidad 1, entonces es posible cualquier probabilidad irracional. Por ejemplo, si se quiere un evento con probabilidad $1/\sqrt{2}$ simplemente interpreta la secuencia de lanzamientos de la moneda como los dígitos de un número binario entre 0 y 1, y comprueba si el número resultante es menor que $1/\sqrt{2}$ . Con una probabilidad de 1, podrá saber después de un número finito de tiradas si su número es o no menor que $1/\sqrt{2}$ por lo que es casi seguro que sólo tendrá que lanzar un número finito de monedas.

Answer 2

Lanza la moneda hasta que obtengas una cola. Si el número de cabezas es primo, devuelve TRUE. En caso contrario, devuelve FALSE.