Integración

Question

¿Cómo puede realizarse la siguiente integración? Implica funciones de Bessel? % $ $$\int_{m}^\infty {x}{\sqrt{x^2 - m^2}}e^{-\beta x} dx$

EDIT: en realidad, la pregunta original es: $$\int_{0}^\infty \frac{y^2}{e^{-\beta \sqrt{y^2 + m^2}}} dy$ $

Que significa el límite inferior es $m$ y no $0$ cuando $y$ $x$ que el anterior. Por consiguiente, la cuestión ha sido editada. Gracias @Jack D'Aurizio

Por favor dar la respuesta final en un número finito. Se fomenta la elaboración de pasos.

Answer 1

Sí, se trata del modificado función de Bessel de segunda especie.

$$\int_{m}^\infty {x}{\sqrt{x^2 - m^2}}e^{-\beta x} dx$$

$$=\frac{1}{2} m^2 \left(m K_1(\beta m)+\frac{1}{2} m (K_1(\beta m)+K_3(\beta m))\right)-m^3 K_1(\beta m)$$ $$=\frac{m^2}{β}K_2(mβ)$$

Para conseguir la última igualdad, utiliza la relación de recurrencia $$K_v(z)=K_{v-2}(z)+2\frac{v-1}{z}K_{v-1}(z)$ $

http://functions.Wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/Introductions/Bessels/05/

Answer 2

Con la sustitución $x=mt$, la integral es: $$J=m^3\int_1^{\infty} t\sqrt{t^2-1}\,e^{-m\beta t}\,dt$ $ considere, $$I(a)=\int_1^{\infty} \sqrt{t^2-1}\,e^{-at}\,dt=\frac{K_1(a)}{a}$ $ donde usé identidad 7 desde aquí.

Para obtener la integral original, distinguir $I(a)$ con respecto a los $a$ y $a=m\beta$, por lo tanto, de sustituir $$I'(a)=-\frac{K_2(a)}{a} \Rightarrow J=\frac{m^2K_2(m\beta)}{\beta}$ $ para el derivado, tuve que usar Wolfram Alpha.

Answer 3

La sustitución obvia es $x=m\cosh t$, siguió reconociendo la expresión integral para el modificado función de Bessel $K_\alpha(u)=\displaystyle\int_0^\infty\exp(-u\cosh t)\cosh(\alpha t)~dt.$