Demostrar que el máximo de dos funciones convexas es también convexo

Question

Aquí hay una pregunta de tarea con la que estoy luchando:

Dejemos que $f,g$ dos funciones convexas. Demostrar que $h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ es también es convexo

No sé por dónde empezar. Lo único que tenía en mente era intentar demostrar que si una función es convexa sobre dos conjuntos $A$ y $B$ También es convexo en su unión. Sin embargo, esto no parece correcto, por ejemplo, si pego $f(x)=x^2, g(x)=\frac{x^2}{1000}$ donde $f$ se define en $[0,1]$ y $g$ en $(1,2]$ .

En fin, eso fue lo único que pensé. ¿Alguna idea mejor? ¡Gracias!

Answer 1

La insinuación de @Did resuelve el problema, pero hay otra prueba, que es más intuitiva creo.

Una función es convexa si y sólo si el área sobre su gráfica es convexa. Pero entonces, la región por encima de $h(x) = \max\{f(x),g(x)\}$ es la intersección de la zona superior $f$ y la región de arriba $g$ . Además, la intersección de conjuntos convexos es convexa, con lo que concluye la prueba.

Answer 2

Una pista: Utilice la caracterización que $h$ es convexo si y sólo si, para cada $t$ en $[0,1]$ y cada $(x,y)$ , $h(tx+(1-t)y)\leqslant th(x)+(1-t)h(y)$ .

Segunda pista: Uno quiere demostrar que $h(z)\leqslant th(x)+(1-t)h(y)$ donde $z=tx+(1-t)y$ . Desde $h=\max\{f,g\}$ esto equivale a las dos desigualdades $$ f(z)\leqslant th(x)+(1-t)h(y),\qquad g(z)\leqslant th(x)+(1-t)h(y). $$ Consideremos la primera desigualdad. Por convexidad de $f$ Se sabe que $f(z)\leqslant tf(x)+(1-t)f(y)$ . Además, $f(x)\leqslant$ $____$ y $f(y)\leqslant$ $____$ Por lo tanto...