¿Existe una definición rigurosa del término "sistema de coordenadas"?

Question

Usted oye el término de sistema de coordenadas que se produce alrededor de un montón, y todos sabemos que el habitual en los ejemplos (coordenadas polares en $\mathbb{R}^2$, coordenadas esféricas en $\mathbb{R}^3$, etc.), pero en verdad no tengo idea de lo que el término significa en realidad.

Hay una rigurosa definición de "sistema de coordenadas"?

En particular, si yo fuera a escribir "Vamos a $c : C \rightarrow X$ denotar un sistema de coordenadas para $X$," ¿qué tipo de objetos se $C$ $X$ (afín espacios? espacios topológicos? algo más?), y qué tipo de entidad es $c$ (un surjective función? una asignación continua? algo más?)

Answer 1

Un "sistema de coordenadas" o más precisamente un "sistema de coordenadas local" en este contexto también es conocido como un gráfico. Un gráfico para un espacio topológico $X$ es un mapa continuo $\phi:U\to X$ que es un Homeomorfismo sobre su imagen, donde $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$. El coordinar funciones $x_1,\ldots,x_n$ $U\subset\mathbb R^n$ entonces da lugar a coordinar funciones $x_i\circ\phi^{-1}$ $\phi(U)\subset X$.