Una forma de Stolz-Cesaro, que es bien conocida de los estados:
Si $(a_n)$ $(b_n)$ son reales secuencias tales que $b_n \uparrow \infty$ and $(a_{n+1} - a_n)/(b_{n+1} - b_n)$ converges as $n \a \infty$, entonces
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \en \mathbb{R} \cup\{\pm \infty\} \,\, \implica \,\, \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} =L$$
Tal vez no sea tan conocido que un inversa implicación es verdadera cuando una condición adicional se impone:
$$ \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{b_{n+1}} = B \in \mathbb{R} \setminus \{1\} , \,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = L \,\, \implica \,\,\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L $$
Para que una prueba tenga en cuenta que
$$\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} \left(1 - \frac{b_n}{b_{n+1}} \right) = \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} - \frac{a_n}{b_{n+1}} = \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} - \frac{a_n}{b_{n}} \frac{b_n}{b_{n+1}}$$
y, por lo tanto,
$$\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \left(1 - \frac{b_n}{b_{n+1}} \right)^{-1} \left(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} - \frac{a_n}{b_{n}} \frac{b_n}{b_{n+1}} \right)$$
Si $B \neq 1$, el límite en el lado derecho existe y
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = (1- B)^{-1}(L - L B) = L$$
Si $B = 1$, luego contraejemplos a la inversa implicación son fácil de encontrar.
La pregunta es ¿qué condiciones son necesarias para la inversión de Stolz -Cesaro el teorema de retención en el caso donde $B = 1$?
