(1) Escribir la matriz de $L_\alpha$ con respecto a la base $\mathfrak{B} = \{\textbf{e}_1, \textbf{e}_2\}$.
Sabemos que las columnas de una matriz de una transformación lineal con respecto a una determinada base son simplemente la imagen de los vectores de la base en virtud de la transformación lineal. Así calculamos el $L_\alpha(e_1)$$L_\alpha(e_2)$.
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Deje $\theta = \tan^{-1}(\alpha)$ ser el ángulo entre el positivo de la $x$-eje y la línea de $y = \alpha x$. Entonces es claro a partir de la geometría que$$L_\alpha(e_1) = (\cos(2\theta),\sin(2\theta))^\text{T}$$and that$$L_\alpha(e_2) = \left(\cos\left({\pi\over2} - (\pi - 2\theta)\right), \sin\left({\pi\over2} - (\pi - 2\theta)\right)\right)^\text{T} = \left(\cos\left(2\theta - {\pi\over2}\right),\sin\left(2\theta - {\pi\over2}\right)\right)^\text{T} = (\sin(2\theta), -\cos(2\theta))^\text{T}.$$So the matrix of this transformation is$$\begin{pmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{pmatrix}.$$But our transformation was given in terms of $\alfa$, not $\theta$ so we use some trigonometric identities to write this matrix in terms of $\alpha$. Note that$$\cos(\theta) = {1\over{\sqrt{\alpha^2 + 1}}},\text{ }\sin(\theta) = {\alpha\over{\sqrt{\alpha^2 + 1}}}.$$Squaring these equations, we write our matrix for $L_\alpha$ as follows:$$\begin{pmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{pmatrix} = {1\over{1 + \alpha^2}} \begin{pmatrix} 1 - \alpha^2 & 2\alpha \\ 2\alpha & -\alpha^2 - 1 \end{pmatrix}.$$
(2) Calcular la matriz de $L_\beta \circ L_\alpha$ (con respecto al $\mathfrak{B}$) de dos maneras: mediante la multiplicación de las matrices para la $L_\beta$$L_\alpha$, y mediante la determinación de la matriz para el compuesto resultante transformación lineal directa.
Comenzamos por mutliplying matrices. Esto es mucho más sencillo con un ángulo de notación, por lo que vamos a adoptar a partir de ahora. Deje $\phi = \tan^{-1}(\beta)$. Calculamos$$L_\beta \circ L_\alpha = \begin{pmatrix} \cos(2\phi) & \sin(2\phi) \\ \sin(2\phi) & -\cos(2\phi)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{pmatrix} $$$$ = \begin{pmatrix} \cos(2\phi) \cos(2\theta) + \sin(2\phi)\sin(2\theta) & \cos(2\phi)\sin(2\theta) - \sin(2\phi)\cos(2\theta) \\ \sin(2\phi) \cos(2\theta) - \cos(2\phi)\sin(2\theta) & \cos(2\phi)\cos(2\theta) + \sin(2\phi)\sin(2\theta)\end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} \cos(2\phi - 2\theta) & -\sin(2\phi - 2\theta) \\ \sin(2\phi - 2\theta) & \cos(2\phi - 2\theta)\end{pmatrix}.$$We could, of course, use the trigonometric equalities from (1) to write this in terms of $\alfa$ and $\beta$ pero no hay presionando motivo para hacerlo.
La segunda parte de este problema nos pide calcular este resultado directamente. Esto no significa, con respecto a un vector arbitrario $(x, y)^\text{T}$, en parte debido a que el cómputo de la imagen de un vector arbitrario en virtud de un compuesto de transformación no nos va a dar esa transformación. Cualquier algebraico de computación será esencialmente la multiplicación de la matriz realizado anteriormente. Por lo tanto, de hacer algo nuevo, y para satisfacer la solicitud, en esta parte, debemos calcular la imagen de $e_1$ $e_2$ geométricamente como hicimos en (1).
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Deje $\theta$ $\phi$ ser definido anteriormente. es importante tener en cuenta que estos dos ángulos se miden con respecto a la positiva $x$-eje, de manera que podemos mantener un registro de todas las diferentes "imágenes" que dependen de la relación manitude de $\alpha$$\beta$. Como antes,$$L_\alpha(e_1) = (\cos(2\theta), \sin(2\theta))^\text{T}.$$The angle measured from this vector to the line $y = \beta x$ is $\phi - 2\theta$ (where the sign of this angle indicates the orientation as is conventional). So then the image of this vector after reflection about the line has angle $2\phi -2\theta$ with respect to the positive $x$-axis. Thus$$L_\beta \circ L_\alpha(e_1) = (\cos(2\phi -2 \theta),\sin(2\phi - 2\theta))^\text{T}.$$We perform a similar computation for $e_2$. From (1),$$L_\alpha(e_2) = \left(\cos\left(2\theta - {\pi\over2}\right),\sin\left(2\theta - {\pi\over2}\right)\right)^\text{T}$$and so has angle $2\theta \pi/2$ with respect to the positive $x$-axis. So again$$\phi - \left(2\theta - {\pi\over2}\right) = \phi - 2\theta + {\pi\over2}$$is the angle from this vector to $y = \beta x$ and $2\phi - 2\theta + \pi/2$ is the angle of the image after reflection about this line with respect to the positive $x$-axis. Thus$$L_\beta \circ L_\alpha(e_2) = \left(\cos\left(2\phi - 2\theta + {\pi\over2}\right), \sin\left(2\phi - 2\theta + {\pi\over2}\right)\right)^\text{T} = \left(-\sin\left(2\phi - 2\theta\right), \cos\left(2\phi - 2\theta\right)\right)^\text{T}.$$So the matrix for $L_\beta \circ L_\alpha$ is$$\begin{pmatrix} \cos(2\phi - 2\theta) & -\sin(2\phi - 2\theta) \\ \sin(2\phi - 2\theta) & \cos(2\phi - 2\theta)\end{pmatrix}$$como antes, comprobar nuestro resultado anterior.
(3) Muestran que el compuesto transformación lineal $L_\beta \circ L_\alpha$ es una rotación. Por lo que el ángulo son vectores en $\mathbb{R}^2$ rota bajo esta transformación?
Nota: no es suficiente decir simplemente que $L_\beta \circ L_\alpha$ es una rotación porque conserva las longitudes de los vectores. Por ejemplo, las reflexiones también tienen esta propiedad. Pero vemos que la matriz de $L_\beta \circ L_\alpha$ escrito en términos de $\theta$ $\phi$ es en forma de una matriz de rotación, y así llegamos a la conclusión de que $L_\beta \circ L_\alpha$ es una rotación.
Desde nuestra forma general para la rotación de las matrices es claro que el ángulo de rotación es $2(\phi - \theta)$ o el doble del ángulo (de nuevo con la orientación) medida del $y = \alpha x$$y = \beta x$.
