Cálculo integral con rama corta.

Question

Estoy aprendiendo cómo calcular las integrales con los puntos de ramificación usando la rama de corte. Por ejemplo: $$I=a\int_{\xi_{1}}^{\xi_{2}}\frac{d\xi}{(1+\xi^{2})\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-U_{0}\xi^{2}\right)}}$$ donde $\xi_{1}$, $\xi_{2}$ es los puntos de ramificación. He elegido el contorno como este:

Así, mediante el uso de residuos teorema (y cambio de canta que metion aquí)

$$I=2\pi i[Res(\infty)-Res(i)-Res(-i)]$$ Obviamente $$Res(\infty)=0$$ $$Res(i)=\frac{1}{2i}\frac{a}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E+U_{0}\right)}}$$ $$Res(-i)=-\frac{1}{2i}\frac{a}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E+U_{0}\right)}}$$

Así que tengo un error en alguna parte integral porque se desvanece. La respuesta sería correcta si no sería el signo menos antes de Res(i). Estoy totalmente confundido. Estaré agradecido si usted podría decirme dónde está mi error, o dar cualquier tipo de enlaces.

Answer 1

Ver esto para un análisis similar.

Me gustaría cambiar la escala de la integral de la siguiente manera:

$$\frac{a}{\sqrt{U_0}} \int_{-1}^1 \frac{dz}{[1+(E/U_0) z^2] \sqrt{1-z^2}}$$

Para considerar esta integral, que considere la función

$$f(z) = (1-z)^{-1/2} (1+z)^{-1/2} = e^{-(1/2) \log{(1-z)}} e^{-(1/2) \log{(1+z)}}$$

El contorno que elegimos es una mancuerna de contorno que rodea la rama elegida corte entre el $[-1,1]$. De forma individual, sin embargo, en la rama de recortes se $[1,\infty)$$(-\infty,-1]$, respectivamente. Por lo tanto, $\arg{(1-z)} \in [0,2 \pi)$$\arg{(1+z)} \in [-\pi,\pi)$. Por lo tanto, si bien podemos establecer $\arg{(1+z)} = 0$ sobre el contorno de los segmentos por encima y por debajo de la línea real, debemos tener ese $\arg{(1-z)} = 0$ por debajo de la línea real, y $\arg{(1-z)} = 2 \pi$ por encima de la línea real.

Sobre el eje real, entonces

$$f(z) = (1-z^2)^{-1/2}$$

A continuación, sin embargo,

$$f(z) = (1-z^2)^{-1/2} e^{-i (1/2) 2 \pi} = - (1-z^2)^{-1/2}$$

así que

$$\oint_C \frac{dz}{[1+(E/U_0) z^2] \sqrt{1-z^2}} = 2 \int_{-1}^1 \frac{dz}{[1+(E/U_0) z^2] \sqrt{1-z^2}}$$

Estás en lo correcto de que el residuo en el infinito es cero. Los residuos en $z=\pm i \sqrt{(U_0/E)}$ no cancela debido a que el factor de $(1-z^2)^{-1/2}$ toma en diferentes signos por encima y por debajo de la rama cortada. Por lo tanto, los residuos de agregar.

Poniendo todo esto junto, obtengo el valor de su integral como

$$\sqrt{\frac{m}{2}} \frac{a \pi}{\sqrt{E+U_0}}$$

Answer 2

El error está oculto en la raíz cuadrada que deben ser definidas y tratadas con cuidado.

Por ejemplo, tomar un punto de $A$ sobre el eje real entre el $\xi_1$ $\xi_2$ muy cerca de $\xi_1$, definir la raíz cuadrada ser positivo en $A$. Considere la posibilidad de $A$ como ser en la parte superior de la rama de corte. Ahora, cuando hacemos una gira en sentido antihorario alrededor de $\xi_1$, el argumento de la expresión bajo la raíz cuadrada va a cambiar por $2\pi$, por lo tanto toda la raíz cuadrada será multiplicado por el $e^{2\pi i/2}=-1$. Por lo tanto, los residuos en $\pm i$ contribuirá con signos opuestos.

O, más correctamente, los residuos aparecen con el mismo signo, sino la propia función de los cambios de la señal: es real y positivo para la puramente imaginario $\xi$ $0$ $i$ real y negativo para el puramente imaginarias $\xi$$-i$$0$.

Espero que esto es comprensible.