Demostrar que la suma de todos los AB ' s $r$-ésima principal menores de edad es igual a la de los de BA ' s

Question

Dicho más concretamente, supongamos que $A,B\in M_n(K)$, $K$ un campo de número. Una $r$-th principio de menores de una matriz cuadrada es el determinante $$\det\begin{bmatrix}a_{k_1k_1} & \cdots & a_{k_1k_r}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k_rk_1} & \cdots & a_{k_rk_r}\end{bmatrix}$$ where $1\le k_1<\cdots<k_r\le n$, $$ is an $n\times n, n>r$ square matrix. Prove that the sum of all of $AB$'s $r$-th principle minors is equal to that of those of $AB$s'.

Sugerencia: utilice [Cauchy-Binet fórmula][1].

Yo simplemente no tiene idea de lo que el uso que se hace de la pista. Yo simplemente no puede representar a los términos en la forma de Cauchy-Binet fórmula, de todos modos me parece imposible construir cualquier de $P_r(AB)$ a partir de sub-bloques de $A,B$.

Alguna ayuda?

Edit: lo siento, he cometido un error. Debe ser principio de menor importancia, no hay líder.

1]: https://en.m.wikipedia.org/wiki/cauchy%E2%80%93Binet_formula

Answer 1

Puede comenzar con $P_r(AB)=\det(A_{[r],[n]}B_{[n],[r]})$ y aplicar la fórmula de Cauchy-Binet para descomponerla en una suma de productos de determinantes.