$n-\frac{n(n^2-1)}{2!}+\frac{n(n^2-1)(n^2-4)}{2!3!}-\frac{n(n^2-1)(n^2-4)(n^2-9)}{3!4!}+.....$

Question

Si $n\in \mathbb{N}$, y

$n-\dfrac{n(n^2-1)}{2!}+\dfrac{n(n^2-1)(n^2-4)}{2!3!}-\dfrac{n(n^2-1)(n^2-4)(n^2-9)}{3!4!}+\dots$

$=s_1$ cuando es $n$ y $s_2$ cuando $n$ es impar

luego demostrar que $s_1+s_2=0$

Sé que cuando le pongo cualquier valor incluso (decir $n=2$), $s_1$ y cuando pongo cualquier valor impar (decir $n=5$), me sale $s_2$. Y estos hasta cero. Pero esto es sólo verificación, no una prueba. Quiero saber cómo debo demostrarlo.

Answer 1

Una pregunta aseada.

De hecho, este es un caso particular de una identidad más general. El lado izquierdo puede ser reescrito como\begin{gather} n-\dfrac{n(n^2-1)}{2!}+\dfrac{n(n^2-1)(n^2-4)}{2!3!}-\dfrac{n(n^2-1)(n^2-4)(n^2-9)}{3!4!}+\cdots\\ = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k{n\choose k+1} {n+k \choose k} = \sum_{k=0}^{n-1} {n \choose n-1-k} {-n-1 \choose k}, \end{frunce} donde ${x\choose k} = x(x-1)\cdots(x-k+1)/k!$, $k\ge 1$; ${x\choose 0} = 1$. Ahora esto es un hecho estándar %#% $ de #% es bien sabido para los números enteros no negativos $$\sum_{k=0}^m {a \choose k}{b \choose m-k} = {a+b \choose m}.$, $a$, $b$, pero puede ser demostrado fácilmente cualquier $m$, $a,b\in \mathbb R$ señalando que $m\in \mathbb Z_+$.

Volviendo a tu problema, podemos tomar $(1+z)^a = \sum_{k\ge 0} {a\choose k} z^k$, $a=n$, $b=-n-1$,\begin{gather} \sum_{k=0}^{n-1} {n \choose n-1-k} {-n-1 \choose k} = {-1 \choose n-1} = (-1)^{n-1}, \end{se reúnen} según sea necesario.

Answer 2

$$n-\frac{n(n^2-1)}{2!}+\frac{n(n^2-1)(n^2-4)}{2!3!}-\frac{n(n^2-1)(n^2-4)(n^2-9)}{3!4!}+\cdots=s_1$ $ $$n_1-\frac{n_1(n_1^2-1)}{2!}+\frac{n_1(n_1^2-1)(n_1^2-4)}{2!3!}-\frac{n_1(n_1^2-1)(n_1^2-4)(n_1^2-9)}{3!4!}+\cdots=s_2$$ Ahora $n=2k$ % entero $k$. $$2k-\frac{2k((2k)^2-1)}{2!}+\frac{2k((2k)^2-1)((2k)^2-4)}{2!3!}-\frac{2k((2k)^2-1)((2k)^2-4)((2k)^2-9)}{3!4!}+\cdots=s_1$ $ $$2k-\frac{2k(2k+1)(2k-1)}{2!}+\frac{2k(2k+1)(2k-1)(2k-2)(2k+2)}{2!3!}-\frac{2k(2k-1)(2k+1)(2k-2)(2k+2)(2k-3)(2k+3)}{3!4!}+\cdots=s_1$ $ % Asimismo, $n_1=2k_1+1$para algún entero $k_1$ $$n_1-\frac{n_1(n_1-1)(n_1+1)}{2!}+\frac{n_1(n_1-1)(n_1+1)(n_1-2)(n_1+2)}{2!3!}-\frac{n_1(n_1-1)(n_1+1)(n_1-2)(n_1+2)(n_1-3)(n_1+3)}{3!4!}+\cdots=s_2$ $$$2k_1+1-\frac{(2k_1+1)(2k_1)(2k_2)}{2!}+\frac{(2k_1+1)(2k_1)(2k_2)(2k_1-1)(2k_2+1)}{2!3!}-\frac{(2k_1+1)(2k_1)(2k_2)(2k_1-1)(2k_2+1)(2k_3)(2k_4)}{3!4!}+\cdots=s_2$$ for $ k_1 + 1 = k_2; k_1-1 = k_3; k_1 + 2 = $k_4
Añadir ambos...