Cómo demostrar este límite es exsit $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}$

Question

que $f:[a,b]\to [a,b]$ sea función continua, Assmue que % de secuencia $\{x_{n}\}(n\ge 0)$tal $$x_{0}=x,x_{1}=f(x_{0}),x_{2}=f(x_{1}),\cdots,x_{n+1}=f(x_{n}),\forall n\in N^{+}$ $ y $$\lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_{n})=0$ $ muestran que: $$\lim_{n\to\infty}x_{n}$ $ es exsit

¿Mi idea: en primer lugar observamos $$x_{n+1}-x_{n}=f(x_{n})-x_{n}$ $ tenemos %#% $ #% entonces no puedo probar esto limita es exsit? ¿Me cayó fácil no puede probarlo.?

Answer 1

WLOG $f:[0,1]\to[0,1]$. Vamos $a=\underline\lim x_n$, $b=\overline\lim x_n$. Suponga $a<b$, claramente $f$ no puede ser idéntica $x$ en cualquier subinterval de $[a,b]$, ya que la secuencia de parada debido a la condición límite. Así que hay algunos $c\in (a,b)$, de modo que WLOG $f(c)>c$.

$f$ es continua en a $c$, así que vamos a $\varepsilon>0$ ser tan pequeño que $f(x)>c+\varepsilon$ todos los $x\in(c-\varepsilon,c+\varepsilon)$ y $c-\varepsilon>a$, $c+\varepsilon<b$. Junto con el límite de que esta condición garantiza que $x_n$ nunca puede cruzar la $(c-\varepsilon,c+\varepsilon)$ intervalo en un camino de $b$ $a$para suficientemente grande $n$, lo cual es una contradicción.