¿Qué es el infimum?

Question

Estoy tratando de encontrar $\inf_{n \in \mathbb N} (\sin(n))^2 $. Creo que la respuesta es $0$ pero no pude probarlo. Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Teorema: Vamos a $a>0$ ser irracional. A continuación, la secuencia de los números naturales es denso en $\mathbb R/(a\mathbb Z)$.

Prueba:

La secuencia es inyectiva: Suponga $n$ $m$ $n\ne m$ son equivalentes en $\mathbb R/(a\mathbb Z)$. Eso significa que $n-m=az$ para un entero distinto de cero $z$. Por lo $a=(n-m)/z \in\mathbb Q$. Contradicción.

Desde $\mathbb R/(a\mathbb Z)$ es compacto y la secuencia infinita (implícita por la inyectividad) tiene un clúster de punto. En particular, el $n,m$ $n<m$ que son arbitrariamente cerca juntos. Deje $b\in \mathbb R/(a\mathbb Z)$$\varepsilon>0$. Elija $n,m$, con una distancia de menos de $\varepsilon$. A continuación, mediante la adición de multiplica de $(m-n)$ a un elemento arbitrario de $\mathbb R/(a\mathbb Z)$ nos metemos en un $\varepsilon$-barrio de $b$.

QED.

Respuesta a la pregunta:

Debido a $\pi$ es irracional la secuencia de los números naturales es denso en $\mathbb R/(\pi\mathbb Z)$ (por nuestro Teorema). Así que hay un aumento de la secuencia de los números naturales $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ convergen a la clase de equivalencia de a $0$. Desde $\sin(x)^2:\mathbb R\to \mathbb R$ es periódica de período de $\pi$ factores a través de $\mathbb R/(\pi\mathbb Z)$. La continuidad de la $\sin(x)^2$ da

$$\lim_{n\to\infty }\sin(a_n)^2 = 0.$$

Ya tenemos $\sin(x)\ge 0$ todos los $x\in\mathbb R$ hemos demostrado $$\inf_{n\in\mathbb N} \sin(n)^2=0.$$

Answer 2

En lugar de responder a la pregunta por completo, permítanme darles una suerte sugerencia útil:

Decir que quieres mostrar que para algunos $n$, $\sin^2n<\epsilon$ para algunos positivos $\epsilon$. Dibujar el círculo unidad! Lo que quiero decir es que para algunos $n$, el punto "$n$ radianes" se encuentra dentro de $\sqrt{\epsilon}$ de la $x$-eje. Esencialmente, lo que sería suficiente para demostrar que si se hace una gráfica de la entero-radian puntos sobre el círculo unidad, que sería básicamente "de relleno" en algún sentido. Puede usted hacer esto? (SUGERENCIA: considere el infimum del conjunto de distancias entre entero-radian puntos, y utilice el hecho de que $\pi$ es irracional.)

Answer 3

Sugerencia: Hay un teorema que dice que para cualquier número no negativo $\alpha$, usted puede encontrar enteros arbitrariamente grandes $p,q$ tal que $|\alpha - p/q| \leq 1/q^2$. Si combinas esto con un teorema acerca de cómo comparar $|\sin x|$ $|x|$ % pequeño $|x|$, voy a mostrar que la respuesta en efecto es $0$ apenas como usted piensa.

Answer 4

Suponiendo que ya sabes que $\sin$ es continua y $2\pi$ periódico.

Que $\epsilon > 0$. Entonces, existe un $\delta > 0$ que #% sigue a cada $x\in (-\delta, \delta)$% #%. Ahora, por el teorema de aproximación de Dirichlet, existen enteros $|\sin(x)| < \sqrt{\epsilon}$ y $k$ $n$ $ finalmente por periodicidad tenemos $$ |2\pi k - n| < \delta. $ $