Deje $G$ ser un equipo compacto conectado Mentira grupo y que $E\to B$ principal $G$-bundle. Supongamos $a$ es un racional cohomology clase de $E$ de manera tal que su retroceso $b$ bajo la órbita de la inclusión del mapa de $G\to E$ es uno de los estándar de la multiplicación de los generadores de $H^{{\bullet}}(G,\mathbf{Q})$ . Deje $E'=E\times EG/G$ ser el Borel de la construcción (correspondiente a la acción de $G$$E$) y deje $(E^{pq}_r,d_r)$ ser el Leray espectral de la secuencia correspondiente al haz de fibras $E'\to BG$.
La clase $a$ da un elemento $a'\in E^{0,2k-1}_2$ algunos $k$. Suponga que $d_i(a')=0,i< 2k$. Es cierto que $d_{2k}(a')$ es lo que ha quedado en $E_{2k}$ de la multiplicativo generador de $H^{{\bullet}}(BG,\mathbf{Q})$ correspondiente a $b$?
Por simplicidad, se puede asumir $G=U(n)$, en cuyo caso lo que queda en $E_\infty$ de el generador de $H^{{{\bullet}}}(BG,\mathbf{Q})\cong E^{{\bullet},0}_2$ correspondiente a $b$ es, precisamente, el $k$-ésima clase de Chern de $E$, en virtud de la natural isomorfismo $H^{{\bullet}}(E',\mathbf{Q})\cong H^{{\bullet}}(B,\mathbf{Q})$.
Este es probablemente el estándar, pero por alguna razón yo no la veo como para demostrar que ni se puede construir un contra-ejemplo.
upd: aquí es una versión menos, que sería más fácil (dis)demostrar: tome $G=U(n)\times H$ donde $H$ es otra Mentira de grupo y supongamos que el pullback de $a$ $G$es la canónica generador de $H^{\bullet}(U(n),\mathbf{Q})\subset H^{\bullet}(G,\mathbf{Q})$ grado $2k-1$. Es cierto que $d_{2k}(a')$ se asigna a cero en virtud de la asignación de espectro secuencias inducida por la retirada de $E'$ $BH$es decir por el mapa
$$(E\times EG)/H\to (E\times EG)/G$$
Para probar esto sería suficiente, por supuesto, para mostrar que $d_{2k}(a')$ está representado en $E_2$ por una clase en $$H^{\bullet}(BG,\mathbf{Q})\cong H^{\bullet}(BU(n),\mathbf{Q})\otimes H^{\bullet}(H,\mathbf{Q})$$ that is mapped to zero under $H^{\bullet}(BG,\mathbf{Q})\H^{\bullet}(BH,\mathbf{Q})$.
