Diffeomorphism: Bola de la unidad vs. euclidiano espacio

Question

En mi diferencial de la clase de geometría que se nos pide demostrar que el abrir la unidad de la bola

$B^n$ = { $x$ $\in$ $\mathbb{R}$$^n$ tal que|$x$| < $1$}

es diffeomorphic a $\mathbb{R}$$^n$

Estoy teniendo un momento difícil con este como soy nuevo no sólo a la geometría diferencial, pero también de la topología.

Sé que necesitamos para construir una suave, diferenciable bijection entre los dos con un diferenciable inversa, pero más allá de eso, estoy seguro de por dónde empezar. Algunas orientaciones en la dirección correcta sería muy apreciada.

Answer 1

O puedes probar con $f(x)=x/\sqrt{1-|x|^2}$ $x\in B^n$.

Answer 2

Deje $\phi \colon [0,1) \to [0, \infty)$ un diffeomorphism con inverse $\psi$. Algunas de las posibles opciones: $t \mapsto \frac{t}{1-t}$, $t \mapsto \tan (\frac{\pi}{2}\cdot t)$.

El mapa $$x \mapsto \phi(||x||) \cdot \frac{x}{||x||}$$

es un diffeomorphism de $B^n$ $ \mathbb{R}^n$con inversa $$y \mapsto \psi(||y||) \cdot \frac{y}{||y||}$$

$\bf{Added:}$ Resulta que la elección de la diffeomorphism de $[0,1)$ $[0,\infty)$importa mucho, ya que $x \mapsto ||x||$ no es suave en $0$. Este fue traído a mi atención por @Freeze_S y yo se lo agradecemos mucho! Uno puede comprobar que el mapa obtenido por $\phi(t) = \frac{t}{1-t}$ solo $C^1$ $0$ ... sin Embargo, podemos usar el mapa que tan amablemente ha sugerido por @Jesús RS: ( muchas gracias! ) $\phi(t) = \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}$ con inversa $\psi(s) = \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}$ y funcionará igual de bien. El diffeomorphisms son, como escrito por @Jesús RS: $$x \mapsto \frac{x}{\sqrt{1-||x||^2}} \\ y \mapsto \frac{y}{\sqrt{1+||y||^2}}$$

De hecho, mientras $\phi(t)$ es una función impar de $t$ cosas van a funcionar bien. Por lo tanto, otro ejemplo es

$$x \mapsto \frac{\tan (\frac{\pi}{2} \cdot ||x|| )}{||x||} \cdot x $$

Answer 3

Enfoque Estándar

Considere la posibilidad de la identificación: $$\Phi:\mathbb{B}^n\to\mathbb{R}^n:\Phi(x):=\frac{x}{\sqrt{1-\|x\|_E^2}}$$ Su inversa está dada explícitamente por: $$\Psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{B}^n:\Psi(y):=\frac{y}{\sqrt{1+\|y\|_E^2}}$$ El argumento de que las raíces nunca desaparecerá: $$1-\|x\|_E^2\neq0\quad1+\|y\|_E^2\neq0$$ Así que ambos son diferenciables.

Enfoque Alternativo

Considere la posibilidad de la identificación: $$\Phi:\mathbb{B}^n\to\mathbb{R}^n:\Phi(x):=\frac{x}{1-\|x\|_E^2}$$ Por el teorema de la función inversa: $$\mathcal{N}d\Phi(x)\equiv(0)\implies\mathrm{d}\Psi(y)=\mathrm{d}\Phi(\Psi(y))\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$$ Pero esto es a nivel mundial como la identificación es un bijection.

Problemática Enfoque

Considere la posibilidad de la identificación: $$\Phi:\mathbb{B}^n\to\mathbb{R}^n:\Phi(x):=\frac{x}{\sqrt{1-\|x\|_\infty^2}}$$ Esto es más probable que no diferenciable.

Answer 4

No cada función lisa induce un mapa liso: $$\Phi:\mathbb{B}\to\mathbb{R}:\quad\varphi(|x|):=\frac{1}{1-|x|}$ $, basta una mirada cuidadosa en su diagrama:

(Nota que no es incluso diferenciable en cero!)

El problema es que la norma no es lisa en general: $$\|\cdot\|:V\to[0,\infty)$ $

Uno puede dominar esta casi solamente por remendar una protuberancia en la parte superior: $$\varphi(r):=e^{-\frac{1}{r^2}}\cdot\frac{1}{1-r}$ $

Para un diffeomorphism mera todavía toda la historia muy depende de la norma solicitada!

Answer 5

En cuanto a las recomendaciones de libros que me sugieren las siguientes:

(i) Un curso de Geometría Diferencial (W. Klingenberg)

(ii) Elemental de la Geometría Diferencial (A. Pressley)

(iii) Diferencial-Geometrie und Mínimo-Flächen (J. Jost) (en alemán, pero es un libro maravilloso).

Algunos de los más avanzados de libros sobre geometría diferencial en el contexto de la diferenciable colectores sugeriría:

(v) la Geometría Diferencial: Colectores, Curvas y Superficies (M. Berger, B. Gostiaux)

(vii) Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial (M. Spivak) (todos los volúmenes)

Espero te sirva de ayuda.

En cuanto a tu pregunta sobre el diffeomorphism entre la apertura de la unidad de pelota y $\mathbb R^n$ la idea es definir una función que estirar la bola abierta en todas las direcciones.