¿Son curvas lightlike en la niñera De las líneas rectas del espacio?

Question

Yo creo que cada lightlike curva en $\mathbb{S}_1^2 \subseteq \mathbb{L}^3$ debe ser una línea. Pero estoy teniendo problemas para su celebración.

Deje $\alpha\colon I \subseteq \Bbb R \to \Bbb S^2_1 \subseteq \Bbb L^3$ ser un lightlike curva. Entonces: $$\langle \alpha, \alpha \rangle = 1, \quad \langle \alpha', \alpha' \rangle = 0.$$From here, we obtain: $$\langle \alpha, \alpha' \rangle = 0, \quad \langle \alpha', \alpha '' \rangle = 0.$$So far all of this is trivial. Differentiating $\langle \alpha, \alpha\rangle = 0$ we get: $$0 = \langle \alpha',\alpha'\rangle + \langle \alpha, \alpha''\rangle \implies \langle \alpha, \alpha''\rangle = 0.$$

La intuición dice que $\alpha''$ es en el plano generado por $\alpha$ $\alpha'$ (desde $\alpha''$ punto al origen), por lo que el cálculo anterior se daría ese $\langle \alpha'',\alpha''\rangle = 0$, pero no estoy seguro de esto. E incluso si esto es cierto, esto no significa que $\alpha'' = 0$.

Alguien me puede ayudar o dar un contraejemplo? Este es un auto que plantea la pregunta, formulada después de darse cuenta de que cada línea contenida en $\mathbb{S}^2_1$ debe ser lightlike. Sólo me preguntaba acerca de la reciprocidad.

---

La Lorentz producto está dado por $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle = x_1y_1+x_2y_2-z_1z_2$, e $\mathbb{S}^2_1$ es el conjunto de todos los vectores $\bf v$ tal que $\langle {\bf v},{\bf v}\rangle = 1$, en caso de que no tenía claro antes. El uso de cualquier firma de $\langle \cdot,\cdot\rangle$ quieres, aunque, probablemente no aparecen en los cálculos. El resultado parece ser cierto para $\Bbb L^n$ en general, si ese es realmente el caso.

Answer 1

Con el fin de fijar las ideas, vamos a la de Lorenz métrica en el espacio de Minkowski $\mathbb{L}^3$ tiene la firma de $-++$. El grupo de Lorentz $O(1,2)$$\mathbb{L}^3$, por un lado, actúa transitivamente sobre el subconjunto $\mathbb{S}^2_1 \subset \mathbb{L}^3$ y, por otro lado, es un subgrupo del grupo lineal $\mathrm{Gl}(3, \mathbb{R})$.

El primer hecho implica que null-curvas de $\mathbb{S}^2_1$ son enviados a null-curvas por la acción de la $O(1,2)$. Además, desde el $\mathbb{S}^2_1$ es una de 2 dimensiones múltiples, hay en cualquier punto de sólo dos null-direcciones, de modo que hay (hasta parametrización) sólo dos null-curvas de ir a través de cualquier punto fijo. Esta observación permite mostrar que $O(1,2)$ actúa transitivamente sobre el conjunto de null-curvas de $\mathbb{S}^2_1$.

El segundo hecho implica que, afín a las líneas en $\mathbb{R}^3$ son enviados a afín a las líneas de bajo la acción de $O(1,2)$.

La combinación de estas dos consecuencias, en orden a la conclusión de que cualquier null-curva es una línea recta, sólo tenemos que demostrar que un null línea recta pasa por el punto a $p(t,x,y) = (0,0,1)$. En $T_p\mathbb{S}^2_1$, el vector $v = \partial_t + \partial_x = (1,1,0)$ es nulo, por lo que nos gustaría mostrar que la línea de $\gamma(t) = p + tv$ (i) pertenece a $\mathbb{S}^2_1$ y (ii) está en todas partes lightlike. Arreglar cualquier $t \in \mathbb{R}$.

(i) $\langle \gamma(t), \gamma(t) \rangle = \langle p, p \rangle + 2 t \langle p, v \rangle = \langle p, p \rangle = 1 \, .$

(ii) es claro que $v = \dot{\gamma}(t) \in T_{\gamma(t)} \mathbb{L}^3$ es nulo. De acuerdo a (i), $\dot{\gamma}(t) \in T_{\gamma(t)} \mathbb{S}^2_1$, por lo que también tiene que ser nulo en el interior de este subplane.

---

Este argumento se utiliza en una forma esencial de la homogeneidad del espacio de de Sitter. Sin embargo, con el fin de deducir que el espacio nulo de curvas es también una $O(1,2)$-espacio homogéneo, se utiliza el hecho de que $\mathbb{S}^2_1$ es de 2 dimensiones. De hecho, en dimensión tres o más, el lightcone sin que el origen es una dimensión dos, etc. colector con dos componentes conectados (en dimensión dos, es un 1-dimensional colector con cuatro componentes), por lo que hay un montón de espacio para no-recto null-curva.

Con el fin de obtener un resultado similar para los distintos $\mathbb{S}^n_1$, uno tendría que poner más restricciones en el null-curvas, como ser geodesics. De hecho, $O(1,n)$ también actúa transitivamente sobre $\mathbb{S}^n_1$ ; el estabilizador del punto de $p(t, x_1, \dots, x_n) = (0, 0, \dots, 0,1)$ es fácilmente visto para ser isomorfo a $O(1,n-1)$. Ahora, una muestra de que el estabilizador actúa transitivamente sobre la lightcone dentro de $T_p \mathbb{S}^n_1$ es decir $O(1,n-1)$ actúa transitivamente sobre la lightcone dentro de $\mathbb{L}^{n-1}$. Por lo tanto, $O(1,n)$ actúa transitivamente sobre el conjunto de null-vectores en $T\mathbb{S}^n_1$. Por otra parte, desde la $O(1,n)$ actúa a través de isometrías, envía (null)geodésica (null)geodésica. Desde (null)geodésico de pasar a través de algún punto dado en bijection con el conjunto de (null)vectores en ese punto, podemos deducir que $O(1,n)$ actúa transitivamente sobre el conjunto de (null)geodesics. Ya que, como se ha argumentado anteriormente, existe una recta null-curva y como es, ciertamente, una geodésica*, podemos deducir que todos null-geodesics de $\mathbb{S}^n_1$ son líneas rectas.

$^*$ Geodesics son las curvas de la desaparición de curvatura geodésica, que es una medida de la cantidad de la temperatura de la curvatura, que es 'tangente' a la hipersuperficie. Una línea recta no tener ambiente curvatura, que no tiene curvatura geodésica.