juegos justos y desleales

Question

Por lo que tengo entendido, hay dos tipos de juegos matemáticos: los justos y los injustos.

los juegos justos son aquellos en los que ambos (todos) los jugadores tienen exactamente las mismas posibilidades de ganar (resultado del juego no es afectado por el orden de los turnos de los jugadores). yo diría que, si hay pura suerte involucrada - es más probable que sea un juego justo. buenos ejemplos podrían ser backgammon y ruleta rusa .

Los juegos injustos son aquellos en los que hay una distinción entre quién mueve primero que afecta a quién gana (resultado del juego es afectados por el orden de los turnos de los jugadores). como, por ejemplo, tic-tac-toe El segundo jugador, si la partida se juega perfectamente, nunca puede ganar, como mucho puede forzar las tablas. Lo mismo ocurre con juego de ábaco (lo siento, no sé el nombre real. las reglas son las siguientes: los jugadores se turnan para seleccionar una línea en el ábaco y escoger cualquier cantidad de piedras en ella. el jugador que escoge la última piedra - pierde): el segundo jugador, si juega perfectamente, siempre pierde.

Así que, básicamente, la regla que leí en alguna parte es " en el juego injusto, el jugador con menos ventaja inicial siempre pierde o, en el mejor de los casos, fuerza un empate ".

¿es así?

La segunda parte de mi pregunta es la siguiente: ¿qué pasa con los juegos más complejos, como damas , Ir a , reversi y ajedrez ?

por lo que he investigado, las damas son un juego injusto: cuando se juega a la perfección, siempre acaba en tablas. ok. el más cuestionable es el ajedrez - según he leído, se considera justo, pero sobre todo porque es demasiado complejo (como siglos en nuestra capacidad de cálculo) para calcular una partida perfecta. ¿es así? porque suena un poco artificial. Además, las estadísticas muestran que las blancas (jugador 1) tienen un poco más de posibilidades de ganar.

PS. por supuesto, todos los aspectos psicológicos deben ser dejados de lado. la pregunta es puramente matemática: pienso en ello como "si dos ordenadores lo jugaran como un juego perfecto, cuál ganaría - el jugador 1, o el jugador 2"

Answer 1

La equidad en un juego suele definirse como: ambos (todos $n$ ) los jugadores tienen las mismas posibilidades teóricas de ganar. Es decir, si ambos jugadores juegan con una estrategia perfecta, ambos jugadores son perfectamente hábiles.

En realidad, la equidad no importa, porque los jugadores pueden jugar de forma imperfecta (es decir, cometer un error)

Los empates no cuentan realmente para la equidad, porque ninguno de los dos jugadores gana.

He tratado de analizar cada uno de los juegos que sugieres.

Backgammon: No se conoce, pero probablemente sea injusto.

Es muy probable que uno de los jugadores tenga una ligera ventaja. Puede ser que el primer jugador tenga ventaja en la primera jugada, o puede ser que el segundo jugador tenga ventaja por tener más información sobre la jugada de su rival. Es poco probable que estas ventajas se equilibren perfectamente.

Sin embargo, esto es difícil de analizar debido al gran número de tiradas de dados aleatorias que son posibles durante una partida.

El carácter aleatorio del Backgammon lo diferencia de los demás juegos, que son "deterministas".

En el backgammon, aunque el primer jugador tenga ventaja, puede perder por mala suerte. En los juegos deterministas que se presentan a continuación, si el primer jugador tiene ventaja, no la cederá a menos que cometa un error.

La ruleta rusa: Justo (con 2, 3 o 6 jugadores, pero sólo teóricamente).

Ambos/todos los jugadores tienen las mismas posibilidades de morir. Sin embargo, las consecuencias de la ruleta rusa son tan graves que los jugadores están muy motivados para hacer trampas. Puede haber consecuencias fuera del juego que podrían ser asimétricas para los jugadores supervivientes, lo que hace difícil decir que el juego es justo en realidad.

Tic-tac-toe: Fair

El tres en raya, jugado a la perfección, siempre acabará en empate. Por tanto, ambos jugadores tienen un 0% de posibilidades de ganar (¡la misma posibilidad!)

Juego de ábaco/Nim: Unfair

En Nim no hay empates ni aleatoriedad, por lo que un jugador siempre ganará. Si ambos jugadores juegan a la perfección, o bien el primer jugador ganará siempre, o bien el segundo, dependiendo de la configuración exacta.

Damas: Fair

Las damas se han analizado lo suficiente como para saber que el juego perfecto siempre acabará en tablas, la misma situación que el Tic-Tac-Toe.

Ir: no se sabe, pero casi seguro que es injusto

El Go tiene un sistema de compensación de un nivel de injusticia percibido para intentar que el juego sea "justo". Un jugador recibe un número determinado de piedras komi al comienzo de la partida. Es muy poco probable que un número entero de piedras komi haga que el juego sea justo. Pero, el Go es difícil de analizar, así que no lo sabemos con certeza.

También es posible que añadan piedras para compensar la diferencia de nivel. Puede parecer impar decir esto, pero está diseñado para hacer que el juego sea deliberadamente "injusto", porque da al jugador más débil una oportunidad teóricamente mayor de ganar. Es "injusto" porque el jugador más débil debería ganar si juega perfectamente. Pero, por supuesto, el jugador más débil no jugará perfectamente - ¡la injusticia compensa la debilidad del jugador!

Reversi: no se conoce, pero se cree que es justo

Los análisis realizados hasta ahora sugieren que las partidas de juego perfecto terminarán en empate. Esto lo pondría en la misma categoría que el Tic-Tac-Toe. Pero, esto aún no se ha analizado completamente.

Ajedrez: no se conoce

Como usted dice, en realidad, parece que las blancas ganan más a menudo, por lo que se suele decir que el primer jugador (las blancas) tiene ventaja. Sin embargo, estas partidas no se juegan a la perfección, así que eso no nos ayuda a decidir si este juego es teóricamente "justo".

Si el primer jugador tuviera realmente una ventaja teórica, entonces las blancas deberían poder ganar siempre, ¡no sólo algunas veces! Porque, no hay azar - sólo un error cambiará el resultado.

Cómo hacer que un juego injusto sea justo

En cada caso, he considerado si el primer jugador está en una posición justa contra el segundo.

Así, podemos hacer que cada partida sea teóricamente "justa" lanzando una moneda (justa) para decidir quién va primero. Así, aunque el primer jugador tenga ventaja, tendrá una oportunidad justa de jugar primero :)

Answer 2

Parece que has leído algunas definiciones bastante inusuales de estos términos. Según la definición habitual, un juego de suma cero de dos jugadores es justo si la ganancia esperada suponiendo un juego óptimo es cero. Aunque dudo que se conozca el resultado esperado del Backgammon con un juego óptimo, es poco probable que sea cero. La mayoría de los juegos que menciona son conocidos o probablemente injustos; en cuanto a la ruleta rusa, véase En la ruleta rusa, ¿es mejor ir primero? . [ Corrección :] Anteriormente afirmé que el ajedrez y las damas no pueden ser justos; Ilmari señala, con razón, que ambos pueden terminar en tablas y que, de hecho, se ha demostrado que el juego óptimo en las damas conduce a las tablas; así que, en realidad, lo entendiste al revés; las damas son el único de los juegos que mencionaste que se sabe que es justo.