Versión satélite de Cartan Eilenberg

Question

Estuve leyendo y encontré esta declaración, cuya prueba es dijo ser obvio. Yo sin embargo después de horas todavía no puede averiguar cómo demostrar a $S_2T(A) = S_1(S_1T(A)) = S_1T(M)$.

Las definiciones son:

$$(5)\quad\quad S_1T(A)= \ker T(M)\to T(P)$$ $$(6)\quad\quad S_1T(A)= \text{coker } T(Q)\to T(N)$$ y tenemos $$(5')\quad 0\to S_1T(A)\to T(M)\to T(P)$$ $$(6')\quad T(Q)\to T(N)\to S^1T(A)\to 0$$ y la definición de los satélites se iteración para obtener $$S_{n+1}T : = S_1(S_nT), S_0T = T, n\in\mathbb{N}$$ $$S^{n+1}T : = S^1(S^nT), S^0T = T, n\in\mathbb{N}$$

La proposición 1.3 dice que

Si $T$ es covariante y $A$ es proyectivo, entonces $S_nT(A) = 0$ todos los $n>0$. Si $A$ es inyectiva, entonces $S^nT(A) = 0$ todos los $n>0$.

Por favor ayuda, estoy muy atascado por un largo tiempo.

Answer 1

$(5)$, $$S_{n+1}T(A)=S_1S_nT(A)=\operatorname{ker} S_nT(M)\to S_nT(P).$ $ $P$ Es proyectivo, pues por Prop. 1,3, $S_nT(P)=0$, y por lo justo $\operatorname{ker} S_nT(M)\to S_nT(P)$ $S_nT(M)$.