Ayuda para el cálculo de series $\sum_{n\ge1} \frac{1}{4n^3-n}$

Question

Quiero encontrar las siguientes series.

$$\sum_{n\ge1} \frac{1}{4n^3-n}$$

Así que, en primer lugar, la fracción patial : $$\frac{1}{4n^3-n}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}.$$

A continuación, considero la serie geométrica $$\sum_{n\ge1} x^{2n-2}+x^{2n}-x^{n-1}=\frac{1}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^2}-\frac{1}{1-x}\tag{1}$$ donde ${-1\lt x\lt1}$ .

A continuación, integro ambos lados de (1) de $0$ a $1$ :

$$\sum_{n\ge1}\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n}=\int_0^1 \frac{x^2-x}{1-x^2}dx$$

Finalmente, obtengo el valor que es igual a $ln(2)-1$ por integral impropia pero es menor que $0$ . ¿Qué he hecho mal? Se agradece toda la ayuda.

Answer 1

A raíz de un comentario mío anterior:

• sin comprobarlo demasiado, lo más probable es que el problema de su paso resida en el "Integro ambos lados de (1) de 0 a 1". Entonces integras el LHS termalmente -- por qué ¿se puede hacer eso? El intervalo de convergencia de tu serie de potencias es $1$ Así que es no obvio que se puede intercambiar $\sum_n$ y $\int_0^1$ . Y, como resulta, peor que "no es obvio", parece que está equivocado.

• Ahora, otro enfoque para calcular la suma: empezando por su $(1)$ escribimos, para $N\geq 1$ , $$\begin{align} \sum_{n=1}^N a_n &= \sum_{n=1}^N \frac{1}{2n+1}+\sum_{n=1}^N \frac{1}{2n-1}-\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}\\ &= \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}\right)+\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right)-2\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \\ &= \sum_{n=2}^{2N+1} \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}-2\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \\ &= H_{2N+1}-1+H_{2N}-2H_N \\ &= \ln(2N+1)+\ln(2N)-2\ln N - 1 +o(1)\\ &= 2\ln 2 - 1 + \ln(N+\frac{1}{2})+ \ln(N+\frac{1}{2})-2\ln N +o(1)\\ &= 2\ln 2 - 1 + \ln\frac{N+\frac{1}{2}}{N}+ \ln\frac{N-\frac{1}{2}}{N} +o(1)\\ &\xrightarrow[N\to\infty]{} \boxed{2\ln 2 -1} \end{align}$$ donde $H_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}$ denota el $N$ -en Número armónico que satisface $$ H_N = \ln N + \gamma + o(1) $$ cuando $N\to\infty$ ( $\gamma$ siendo la constante de Euler). También utilizamos que por continuidad del logaritmo, $\ln\frac{N\pm\frac{1}{2}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} \ln 1=0$ .

Answer 2

Puedes hacerlo así. Es más fácil. Deje que $$ f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^3-n}x^{2n+1}. $$ Entonces $f(1)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^3-n}$ y $$ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)n}x^{2n}, f''(x)=2\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)}x^{2n-1}, f'''(x)=2\sum_{n=1}^\infty x^{2n-2}=\frac2{1-x^2}$$ y por lo tanto $$ f(1)=\int_0^1\int_0^s\int_0^t\frac2{1-x^2}dxdtds=2\ln2-1.$$