¿Es isomorfo a $\mathbb{C}^2$ $\mathbb{R}^4$?

Question

¿Son $\mathbb{C}^2$ y $\mathbb{R}^4$ isomorfo a uno con el otro? Dos espacios vectoriales son isomorfos si y solamente si existe una biyección entre los dos. Podemos definir el mapa linear $T: \mathbb{C}^2 \mapsto \mathbb{R}^4$ como

$ T\left(\left[\begin{array}{cc} a + bi \\ c + di \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cccc} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right] $$

¿Este bijection es suficiente para mostrar que son isomorfos?

Answer 1

Como T. Bongers señala, también necesitamos el mapa de $T$ a ser lineal si nos gustaría ser un isomorfismo. No es muy difícil ver que $T(v + w) = T(v) + T(w)$, y si $\alpha \in \mathbb{R}$,$T(\alpha v) = \alpha T(v)$. Esto demuestra que como verdaderos espacios vectoriales, $\mathbb{C}^2$ $\mathbb{R}^4$ son isomorfos. Sin embargo, para $\alpha \in \mathbb{C}$, no tenemos la $T(\alpha v) = \alpha T(v)$ debido a que el lado derecho no está definido, esto es debido a que $\mathbb{R}^4$ no es un espacio vectorial complejo.

En resumen, $\mathbb{C}^2$ $\mathbb{R}^4$ son isomorfos como verdaderos espacios vectoriales, pero $\mathbb{C}^2$ es también un complejo espacio vectorial, mientras que $\mathbb{R}^4$ no lo es.

Answer 2

Diciendo cosas un poco diferente de las otras respuestas: Sí, lo que tienes es un espacio vectorial isomorfismo. Cuando hablamos de $\mathbb{R}^4$ nosotros (por lo general) no lo considero como un complejo espacio vectorial, por lo que es bastante seguro asumir que ambos espacios son espacios vectoriales reales y, como tal, ellos son isomorfos (como se menciona en las otras respuestas).

Así es $\mathbb{R}^4$ realmente no es un complejo espacio vectorial? Así, el uso de la bijection $T$ que usted tiene, usted realmente puede hacer que las $\mathbb{R}^4$ en un complejo espacio vectorial, por $\lambda\in \mathbb{C}$$a\in \mathbb{R}^4$, la definición de la multiplicación escalar: $$ \lambda.a = T(\lambda T^{-1}(a)). $$ Con esta definición, entonces usted tiene un isomorfismo de complejo de espacios vectoriales. Tan solo por la diversión que usted podría conseguir $$ i\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0\\ 0} = T\pmatrix{i \\ 0} = \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} $$ Y aquí hay dos simples preguntas de bono: ¿Cuál es la dimensión de la $\mathbb{R}^4$ vista como un complejo espacio vectorial de este modo? ¿Qué es una base?

Answer 3

Si se trata de isomorfismo como espacios del vector encima $\mathbb{R}$ entonces sí, tienes razón. Sin embargo una biyección entre dos espacios no es suficiente para que sean isomorfos (por ejemplo $\mathbb{R}$ es bijectable con $\mathbb{C}$ pero no son isomorfos como espacios del vector encima $\mathbb{R}$. Lo que necesita es una biyección que también es una función lineal

Answer 4

El mapa es de hecho un isomorfismo, pero quiero hacer otro punto, también.

Estás casi en lo cierto acerca de bijections, pero un bijection no es suficiente para mostrar que ellos son isomorfos (un ejemplo fácil es dada por AngelTC). Sin embargo, si usted tiene un bijection entre las bases de estos dos espacios como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales, entonces se puede concluir que son isomorfos, desde un bijection entre las bases puede ser extendida de forma lineal para crear el isomorfismo.

En general, espacios vectoriales, si usted tiene espacios de $V$ $V'$ con bases de $\left\{b_{1},\ldots,b_{n}\right\}$$\left\{b'_{1},\ldots,b'_{n}\right\}$, respectivamente, puede formar el bijection $f\left(b_{i}\right)=b'_{i}$, y luego extenderla "linealmente" por el sólo decir que $f\left(b_{i}+b_{j}\right)=b'_{i}+b'_{j}$ $f\left(\alpha b_{i}\right)=\alpha b'_{i}$ donde $\alpha$ es un escalar. Esto se convierte en un bijection entre bases en un isomorfismo.

Por lo tanto, tómese su favorito de base para $\mathbb{R}^{4}$ y su favorito de base para $\mathbb{C}^{2}$. Se puede formar un bijection entre estos? Si es así, entonces sólo ampliar linealmente para un isomorfismo.