Estoy en mi clase de matemáticas y me encontré con este problema en mi pasado mitad de período. ¿Cómo podemos demostrar que $F:=\{ a+b\sqrt{7} \mid a,b \in \mathbb{Q} \} $ es cerrado bajo la adición, sustracción, multiplicación y división por un número distinto de cero en el conjunto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Desde $\Bbb Q$ es cerrado bajo la suma, la resta y la multiplicación, entonces no debería ser difícil de probar que $F$ es cerrado bajo esos, también. Para la división, ¿sabes cómo "racionalizar" un denominador?
Ya sabes cómo racionalizar un denominador, que tome $a,b,c,d\in\Bbb Q$, de modo que $c+d\sqrt{7}\neq 0$. Es decir, tenemos $c,d$ no ambos cero. Tenga en cuenta que esto significa que $c-d\sqrt{7}\neq 0$, así. (Por qué?) Por lo tanto, tenemos $$\begin{align}\frac{a+b\sqrt{7}}{c+d\sqrt{7}} &= \frac{a+b\sqrt{7}}{c+d\sqrt{7}}\cdot\frac{c-d\sqrt{7}}{c-d\sqrt{7}}\\ &= \frac{(ac-7bd)+(bc-ad)\sqrt{7}}{c^2-7d^2}\\ &= \frac{ac-7bd}{c^2-7d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-7d^2}\sqrt{7}.\end{align}$$ All you need to do is justify why those two fractions in the last lines are rational, and why $c-d\sqrt{7}\neq 0$ when $c,d\ \ en\Bbb P$ no ambos cero.
Para esa última parte, tratar de mostrar de un número racional $p$ y un número irracional $\alpha$, $p\cdot\alpha\in\Bbb Q$ si y sólo si $p=0$. A continuación, muestran que $\sqrt{7}$ no es racional.
Oli
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El único un poco complicado es el de la división. Deje $x=a+b\sqrt{7}$ donde $a+b\sqrt{7}\ne 0$. Tenga en cuenta que $a-b\sqrt{7}\ne 0$, ya que el $\sqrt{7}$ es irracional. (Esto necesita de prueba.) Entonces $$\frac{1}{x}=\frac{a-b\sqrt{7}}{(a-b\sqrt{7})(a+b\sqrt{7})}=\frac{a}{a^2-7b^2}+\frac{-b}{a^2-7b^2}\sqrt{7}.$$
Nota: Para demostrar que si $a$ $b$ no son tanto $0$,$a-b\sqrt{7}\ne 0$, tal vez proceda de la siguiente manera. Supongamos que al contrario que $a-b\sqrt{7}=0$. Multiplicando a través de un adecuado entero distinto de cero si es necesario, podemos asumir que $a$ $b$ son enteros. También podemos suponer sin pérdida de generalidad que los enteros $a$ $b$ no tienen en común factor $\gt 1$. Obtenemos $a=b\sqrt{7}$, y por lo tanto $a^2=7b^2$, $7$ divide $a^2$, pero desde $7$ es primo, $7$ divide $a$. Por lo tanto $a=7c$ algunos $c$, y por lo tanto $7c^2=b^2$. De ello se desprende que $7$ divide $b$, contradiciendo el hecho de que $a$ $b$ no tienen ningún factor común mayor que $1$.
Shabaz
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Math Gems
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Sugerencia $\ $ Para la división, $\rm\,\ 0\,\ne\,\alpha\alpha' =\, n\in \Bbb Z\ $ $\Rightarrow$ $\rm\ \dfrac{\beta}\alpha = \dfrac{\alpha'\beta}{\alpha'\alpha} = \dfrac{\alpha'\beta}n$
Esto se llama racionalizar el denominador. Funciona porque irracionales algebraicas número racional múltiples (su norma). Con el fin de reducir la división por una irracional a la división por un racional.
He aquí un ejemplo de realización el denominador para demostrar que la parte real es cero:
$$\displaystyle\ z\bar z\: =\: 1\ \:\Rightarrow\:\ \frac{(1-z)\:(1+\bar z)}{(1+z)\:(1+\bar z)}\: =\: \frac{\bar z-z}{|1+z|^2}\: =\: \frac{r\:i}{s},\ \ r,s\in \mathbb R$$
En general, la racionalización de denominadores permite levantar "la existencia de los inversos de los elementos $\ne 0\:$" a partir de una base de campo (por ejemplo,$\mathbb R$) a una expresión algebraica campo de la extensión (por ejemplo,$\mathbb C$). Es decir, desde que $\mathbb R$ es un campo, $\rm\ 0\ne r\in \mathbb R\ \Rightarrow\ r^{-1}\in \mathbb R\:,\:$, por lo que
$$\rm 0\ne\alpha\in\mathbb C\ \ \Rightarrow\ \ 0\ne\alpha\alpha' = r\in \mathbb R\ \ \Rightarrow\ \ \frac{1}\alpha\ =\ \frac{\alpha'}{\alpha\:\alpha'}\ = \frac{\alpha'}r\in\mathbb C $$
Por lo tanto $\:$ $\mathbb R\ \Rightarrow\:\: $ $\mathbb C\ $ mediante el uso de la norma $\rm\:\alpha\to\alpha\ \alpha'\:$ a levantar la existencia de inversos de $\mathbb R$ $\mathbb C\:.$Ver este post para más.
