Estoy trabajando a través del MIT OCW de una sola variable curso de cálculo. El problema está tomado de un conjunto de problemas 7: Pregunta 4B-5.1
P: Encontrar el volumen de un triángulo equilátero con lado de longitud de una que se hace girar alrededor de uno de sus lados.
De hecho, estoy haciendo el cálculo en el lado bueno, yo creo. Mi dificultad es con la trigonometría/geometría de la configuración del problema. Aquí es cómo puedo configurar la integral:
$$ 2 \int_0^\frac{a}{2} \pi(\frac{\sqrt{3}}{a}x)^2dx $$
Mi integrando al parecer es malo. He calculado $y$ a ser una función de la $x$ tal que $y = \frac{\sqrt{3}}{a}x$. La solución se la integral exactamente el mismo, salvo que $y = \sqrt{3}x$.
He aquí cómo se deriva el integrando:
Deje que el triángulo equilátero sentarse con uno de los lados a lo largo del eje x y su extremo izquierdo vértice en (0,0) y su extremo derecho vértice en (a, 0). La estrategia de dividir el triángulo en la mitad, integrar el girado sólido alrededor del eje x, y se multiplica por dos para llegar a todo el triángulo.
Así que la función de ser integrados es una simple lineal f(x) de 0 a $\frac{a}{2}$. Gran. Pero, ¿qué es $f(x)$? Aquí es donde tengo que ir mal.
Yo derivados de la pendiente de la línea de f(x) mediante la observación de que el vértice en (0,0) es $\frac{\pi}{3}$ radianes. El uso de sohcahtoa, que calcula la altura del triángulo (es decir, $f(\frac{a}{2})$) como:$$\sin(\frac{\pi}{3})$$
A continuación, se derivan de la pendiente de f, simplemente me hizo lugar-largo plazo, es decir, (a enchufar para $\sin\frac{\pi}{3})$: $$\frac{\sqrt{3}}{2}\div\frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{a}$$
Que es la pendiente de la función f(x). Voy a dejarlo aquí, como no creo que el cálculo es el problema. Claramente, he hecho algo mal en la forma en que me derivados de la pendiente de $f(x)$. Lo que me estoy perdiendo? Lo que hubiera sido la forma correcta de calcular el $f(x)$ para llegar a $y = \sqrt{3}x$?
