Un entero positivo $n$ es el primer fib $\varphi(n)! \equiv -1 \pmod n$

Question

Es esto una prueba aceptable ?

Teorema 1 (Wilson)

Un entero positivo $n$ es el primer fib $(n-1)! \equiv -1 \pmod n$

Teorema 2

Un entero positivo $n$ es el primer fib $\varphi(n)! \equiv -1 \pmod n$ .

Prueba

Necesidad : $\textit{If}~ n~ \textit{is prime}~ \textit{then}~\varphi(n)! \equiv -1 \pmod n $

Si $n$ es primo, entonces tenemos $\varphi(n) = n-1$ y

por el Teorema de $1$ : $(n-1)!=-1 \pmod n$ ,

por lo tanto $\varphi(n)! \equiv -1 \pmod n$ .

Suficiencia : $\textit{If}~\varphi(n)! \equiv -1 \pmod n ~ \textit{then}~ n~ \textit{is prime}$

Para$n=2$$n=6$ :

$\varphi(2)! \equiv -1 \pmod 2$ $2$ es primo .

$\varphi(6)! \not\equiv -1 \pmod 6$ $6$ es compuesto .

Para $n \neq 2,6$ :

Supongamos $n$ es compuesto y $p$ es el menos el primer tales que $p \mid n$ ,

luego tenemos a $\varphi(n)! \equiv -1 \pmod p$ .

Desde $\varphi(n) \geq \sqrt{n}$ todos los $n$ con la excepción de$n=2$$n=6$ , ver [1]

y $p \leq \sqrt{n}$ es de la siguiente manera $p \mid \varphi(n)!$ , por lo tanto $\varphi(n)! \equiv 0 \pmod p$ una contradicción .

Por lo tanto , $n$ debe ser un primo .

Referencia

[1]: Mitrinović, D. S. y Sándor, J. Manual de Teoría de los números. Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 1995.

Answer 1

Es correcto.
Si $n$ es compuesto, a continuación, $\gcd(\phi (n)!,n)\geq p$ donde $p$ denota el menor divisor primo de $n$.
Claramente $p$ no es igual a $-1$ mod n y por lo tanto es verdadera.
Bonito, pero no es muy útil en la práctica.