deje $A\in M_n\mathbb R$ .¿cómo demostrar estas afirmaciones con la siguiente condición?

Question

Supongamos que $A\in M_n(\mathbb{R})$ , $A\neq 0$ tal que: $$\begin{align*} A=(a_{ij}),\ 1\le i,j\le n,\\ a_{ik}a_{jk}=a_{kk}a_{ij},\ \forall\, i,j \end{align*}$$ Cómo demostrarlo:

• $\operatorname{trace}(A)\neq0$ ,
• $A$ es simétrica,
• $x^{n-1}(x-\operatorname{trace}(A))$ es el polinomio característico de $A$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Considera la suma de los cuadrados de cada fila. Para la fila $i$ tenemos $$\sum_{k=1}^na_{ik}^2 = \sum_{k=1}^na_{kk}a_{ii} = \mathrm{tr}(A)a_{ii}$$ Está claro que si la traza es cero, entonces también lo es la suma al cuadrado de cada fila. Por lo tanto, cada entrada debe ser cero, contrariamente a la hipótesis de que $A\neq 0$ . Esto es una contradicción, por lo que la traza es distinta de cero.

Ahora bien, como la traza es distinta de cero, existe al menos una entrada distinta de cero en la diagonal principal, sin pérdida de generalidad $a_{11}\neq 0$ . Entonces tenemos para todos $i,\ j$ $$a_{ij}=\frac{a_{i1}a_{j1}}{a_{11}} = \frac{a_{j1}a_{i1}}{a_{11}} = a_{ji}$$ Por lo tanto, la matriz es simétrica.

Por último, demostramos que la matriz es de rango $1$ . Obsérvese que cada columna es una combinación lineal de la columna $1$ donde asumimos que $a_{11}\neq 0$ . Esto se debe a que para cada $j$ tenemos $$a_{ij} = \frac{a_{j1}}{a_{11}}a_{i1},\ \ \ \ 1\le i \le n$$ para que la columna $j$ es $\frac{a_{j1}}{a_{11}}$ columna de tiempos $1$ . Esto demuestra que la matriz tiene rango $1$ . Esto significa, en particular, que $x^{n-1}\mid p(x)$ donde $p(x)$ es el polinomio característico. Hay precisamente una raíz distinta de cero para que $$p(x)=x^{n-1}(x-\lambda) = x^n - \lambda x^{n-1}$$ El coeficiente de $x^{n-1}$ en el polinomio característico es precisamente $-\mathrm{tr}(A)$ por lo que el resultado se deduce.

Answer 2

Desde $A\neq 0$ se deduce de la condición de que existe $k$ tal que $a_{k,k}\neq 0$ . En efecto, supongamos que $a_{k,k}=0$ para todos $k$ alors $a_{i,k}^2=a_{i,k}a_{i,k}=a_{k,k}a_{i,i}=0$ así que $a_{i,k}=0$ para todos $i,k$ . Contradicción.

Ahora $$a_{i,j}=\frac{a_{i,k}a_{j,k}}{a_{k,k}}=\frac{a_{j,k}a_{j,k}}{a_{k,k}}=a_{j,i}$$ para todos $i,j$ .

Así que $A$ es simétrica.

Obsérvese ahora que una suma sobre $k$ de la condición se obtiene $$A^2_{ij}=\mbox({tr}A)A_{i,j}.$$

Así que $$A^2=\mbox({tr}A)A.$$

En particular, $$\mbox{tr}A=\sqrt{\mbox{tr}A^2}=\sqrt{\mbox{tr}A^tA}>0.$$

Por último, a partir de la relación anterior, vemos que los valores propios de $A$ pertenecen a $\{0,\mbox{tr}A\}$ .

Pensando en una forma diagonalizada de $A$ vemos que $0$ debe tener multiplicidad $n-1$ y $\mbox{tr}A$ multiplicidad $1$ .

Así que el polinomio característico es $$p_A(x)=x^{n-1}(x-\mbox{tr}A).$$