Cuando se estima la media de la población es, ¿cómo puede uno la mitad de la media de la muestra tienen un menor riesgo que la media de la muestra a sí mismo?

Question

He leído Efron y Morris (1977) Stein Paradoja en las Estadísticas con el interés de ayer y se tropezó con la declaración de que, si y sólo si la población es cercana a cero, que el riesgo (error cuadrático medio, MSE) de usar la mitad de la media de la muestra como una estimación para la media de población es inferior a la de la media.

Traté de modelo de este (por desgracia en la Bola de Cristal / de Excel, no hizo uso de R para esto), pero no pudo replicar este resultado. En mis ejemplos, el riesgo (como por MSE) de la mitad-de-la-media estimación se convirtió en cerca de la media de la estimación, pero nunca llegó a ser más bajo. Yo podría, evidentemente, no han entendido bien el concepto, pero sería muy interesante si alguien puede mostrar / explicar esto a mí.

Answer 1

Usted realmente no necesita una simulación para ver cómo puede suceder esto: @whuber comentario de esencialmente los clavos.

Imagino que la población es descrito por $\mathcal N(1,10)$, es decir, la media de población es de $\mu=1$ y la desviación estándar es $\sigma=10$. Deje que su tamaño de la muestra se $n=10$. La varianza de la media muestral (MSE) será de alrededor de $\sigma^2/n=10$, por lo que se obtiene los valores de la media de la muestra que están muy lejos de la verdadera media de $\mu=1$. Tomando la mitad de la media de la muestra, se reducirá la varianza cuatro veces, trayendo la estimación mucho más cerca de cero, y, como consecuencia, mucho más cerca de a $\mu=1$.