Estoy teniendo algunos problemas con esto porque siempre me han negado las declaraciones. Si trato de demostrar tanto la dirección directamente me sale que tres elementos no son todos iguales entre sí y los tres vectores forman una base, o si se prueba por contrapositivo puedo obtener la declaración de que los vectores no a partir de una base y por lo tanto no abarcan $\mathbb{R}^3$ y no son linealmente independientes. De cualquier manera me terminan con negado las declaraciones, lo que me parece difícil de utilizar en las pruebas.
Lo que he llegado hasta ahora:
$=>$ A prueba por contraposición: Supongamos $(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)$ formulario de una base de $\mathbb{R}^3$ y asumir que $x=y \vee x=z \vee y=z$. En cada caso se deduce que al menos dos de los tres vectores son iguales y por lo tanto los tres vectores no son linealmente independientes, por lo tanto, $(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)$ no puede ser una base de $\mathbb{R}^3$.
$<=$ A prueba por contraposición: Supongamos $(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)$ no son una base de $\mathbb{R}^3$, entonces los vectores no son linealmente independientes o no abarcan $\mathbb{R}^3$.
Caso 1: Uno de los vectores es que en el lapso de los otros dos. Luego de ello se desprende que existe una combinación lineal de la siguiente forma : $1x + 0y = z$, donde x es el vector de la $(1,x,x^2)$ e y y z las correspondientes de los otros dos vectores. Luego de ello se sigue que $(1,x,x^2) = (1,z,z^2)$ y, por tanto,$x=z$$x,z \in \mathbb{R}$. El resultado sería el mismo en los otros casos.
Caso 2: ni idea.
Honestamente no me siento como si esas pruebas son correctas. Para la segunda dirección en el caso 1, no estoy seguro de si el hecho de que los vectores no son linealmente independientes, implica el hecho de que existe una combinación lineal de la forma $1x + 0y = z$.
¿Alguien puede decirme qué he hecho mal hasta ahora y darle algunos consejos para que me ayude a probar esto?
