Puede alguien explicar este párrafo de Griffiths y Harris para mí?

Question

(página 17)

...Se deduce que la proyección de la tangente espacios, respectivamente real, complexified y holomorphic, en $p$ a un complejo colector de $M$)

$$T_{\mathbb{R},p}(M)\longrightarrow T_{\mathbb{C},p}(M)\longrightarrow T_{p}'(M) $$

es una $\mathbb{R}$-lineal de isomorfismo. Esta última característica nos permite "hacer geometría" puramente en la holomorphic el espacio de la tangente. Por ejemplo, supongamos $z(t) = x(t) + iy(t)$, y la tangente al arco puede ser tomado como $$x'(t)\frac{\partial}{\partial x}+ y'(t)\frac{\partial}{\partial y}$$ in $T_{\mathbb{R},p}(\mathbb{C})$ o

$$z'(t)\frac{\partial}{\partial z}$$ in $T'(\mathbb{C})$ y estos dos se corresponden en virtud de la proyección.

Lo que hace que el libro significa "hacer geometría"?

Supongo que más básicamente, ¿qué propiedades precisamente do $\mathbb{R}$-lineal isomorphisms preservar que son fundamentales para "hacer geometría'? Yo se supone que solo los ángulos?

Answer 1

($M$ es un complejo colector de la compleja dimensión de $n$.) El espacio de $T_{\mathbb{R},p}(M)$ es el verdadero espacio de la tangente de la real ($2n$ dimensiones) colector $M$. Pero lo que realmente desea es un complejo espacio de la tangente de la dimensión $n$. En primer lugar, se considerar $T_{\mathbb{C},p}(M) = T_{\mathbb{R},p}(M) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$, que es un complejo espacio vectorial, pero de dimensión $2n$. Este espacio vectorial se divide muy bien en $T_{\mathbb{C},p}(M) = T'_p(M) \oplus T''_p(M)$. Aquí $T'_p(M)$ es el subespacio de derivaciones que se asignan todos los antiholomorphic funciones a $0$. Por otro lado, $T''_p(M)$ mata a todos holomorphic funciones, por lo que los resultados no son muy interesantes (ya que vas a ser el estudio de holomorphic funciones en $M$). Por eso $T'_p(M)$ es la elección natural de $n$-dimensiones complejas de espacio vectorial para llamar a la (compleja) el espacio de la tangente a$M$$p$.

Estás poniendo el énfasis en la parte equivocada de la frase en negrita. "Hacer geometría" sólo significa que el uso de las técnicas habituales para analizar un espacio, en particular considerando la tangente espacios, la tangente del paquete, las secciones de la tangente paquete, exterior poderes de la tangente bundle, etc. La parte fundamental de la oración es que usted va a trabajar "puramente en la holomorphic el espacio de la tangente." El $\mathbb{C}$-espacio vectorial $T'_p(M)$ lleva más de información (de la compleja estructura de espacio vectorial) de la $\mathbb{R}$-espacio vectorial $T_{\mathbb{R},p}(M)$. De hecho, la primera aplicación de este hecho se encuentra en el final de esta subsección, donde demuestran que cada complejo colector tiene una canónica de orientación (que no es absolutamente cierto para el real colectores).