Limpieza de los Grandes Lagos - Sistemas de ecuaciones diferenciales

Question

Detalles del problema

La idea del problema es averiguar cuánto tiempo se tardaría en limpiar los Grandes Lagos de contaminación. Se trata de una serie de cinco tanques en los que se dan tasas de entrada de agua limpia, tasas de entrada de los otros tanques y tasas de salida.

Para nuestro modelo, hacemos las siguientes suposiciones:

1. El volumen de cada lago se mantiene constante.
2. Los caudales son constantes durante todo el año.
3. Cuando un líquido entra en el lago, se produce una mezcla perfecta y los contaminantes se distribuyen uniformemente.
4. Los contaminantes están disueltos en el agua y entran o salen por la entrada o salida de la solución.

Antes de utilizar este modelo para obtener estimaciones sobre los tiempos de limpieza de los lagos, consideramos algunos modelos más sencillos:

• (a) Utiliza los caudales indicados en la figura para determinar el tiempo que se tardaría en "vaciar" cada lago. Esto da un límite inferior sobre el tiempo que se necesitaría para eliminar todos los contaminantes. tiempo que se necesitaría para eliminar todos los contaminantes.

• (b) Se obtiene una mejor estimación suponiendo que cada lago es un tanque separado en el que sólo entra agua limpia. Utilice este enfoque para determinar el tiempo que tardaría el nivel de contaminación de cada lago en reducirse al 50% de su nivel original. ¿Cuánto tiempo se tardaría en reducir la contaminación al 5% de su nivel original?

• (c) Por último, para tener en cuenta el hecho de que la contaminación de un lago fluye hacia el siguiente lago de la cadena, utilice el modelo de compartimentos múltiples compartimento que se muestra en la figura para determinar cuándo el nivel de nivel de contaminación de cada lago se ha reducido al 50% de su nivel original original, suponiendo que la contaminación ha cesado (es decir, las entradas que no proceden de un lago son aguas limpias). Suponga que todos los lagos tienen inicialmente la misma concentración de contaminación $p$ . ¿Cuánto tiempo tardaría la contaminación en reducirse al 5% de su nivel original?

Solución hasta ahora:

$\frac{dA}{dt}$ = tasa de entrada-salida donde $A$ es la cantidad de contaminación en el momento $t$ .

Primero escribí ecuaciones para cada lago. En lugar de utilizar $A$ como variable, he utilizado la primera letra de cada lago (con $n$ para Ontario) para representar la cantidad de contaminación en el lago dado en el momento $t$ . Esto da...

$$\frac{ds}{dt} = \frac{-15s}{2900}$$ $$\frac{dm}{dt} = \frac{-38m}{1180}$$ $$\frac{dh}{dt} = \frac{15s}{2900} + \frac{38m}{1180} - \frac{68h}{850}$$ $$\frac{de}{dt} = \frac{68h}{850} - \frac{85e}{116}$$ $$\frac{dn}{dt} = \frac{85e}{116} - \frac{99n}{393}$$

Reordenando y sacando el operador diferencial se llega al siguiente sistema:

$$\left(D + \frac{38}{1180}\right)[m] = 0$$ $$\left(D - \frac{68}{850}\right)[h] + \frac{38m}{1180} - \frac{15s}{2900}=0$$ $$\left(D + \frac{15}{2900}\right)[s] = 0$$ $$\left(D + \frac{85}{116}\right)[e] - \frac{68h}{850} = 0$$ $$\left(D + \frac{99}{393}\right)[n] - \frac{85e}{116} = 0$$

Aquí es donde estoy atascado. Tengo este sistema de cinco ecuaciones con cinco variables. Parece que debería ser bastante sencillo de resolver a partir de aquí, pero no puedo averiguar qué hacer a continuación.

Answer 1

Ahora que tienes definido tu sistema de ecuaciones diferenciales, puedes empezar a resolverlas. Las ecuaciones para $s(t)$ y $m(t)$ no están acoplados, así que puedes resolverlos primero. Todas las ecuaciones tienen la condición inicial de $p$ cantidad de contaminante. Después de resolver para $s(t)$ y $m(t)$ (y hazme saber si esto es un problema) puedes enchufarlas a las ecuaciones para $h(t)$ . Después de haber $h(t)$ puedes conseguir $e(t)$ y finalmente $n(t)$ . A continuación, para cada ecuación, introduzca $0.05 p$ para la concentración y resolver para $t$ para determinar el tiempo que tarda la concentración en cada lago en descender hasta el 5% de la concentración original.

Por ejemplo, la solución de $s(t)$ es: $$s(t)=p e^{-\frac{15}{2900}t}.$$ Configuración $s=0.05p$ y resolviendo para el tiempo se obtiene $t=579$ . Haz lo mismo con los demás.

¿Ayuda esto en algo?

Paul Safier

Answer 2

$(D + \frac{38}{1180})[m] = 0$

$(D - \frac{68}{850})[h] + \frac{38m}{1180} - \frac{15s}{2900}=0$

$(D + \frac{15}{2900})[s] = 0$

$(D + \frac{85}{116})[e] - \frac{68h}{850} = 0$

$(D + \frac{99}{393})[n] - \frac{85e}{116} = 0$

En aras de la brevedad, he convertido todas las fracciones en forma decimal, es decir

$\frac{38}{1180} = 0.0322$

$\frac{68}{850} = 0.0800$

$\frac{15}{2900} = 0.0051$

$\frac{85}{116} = 0.7327$

$\frac{99}{393} = 0.2519$

Voy a utilizar el método de Laplace para convertir estas ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, con lo que resolveremos las ecuaciones y obtendremos las transformadas de Laplace de $S,H,M,E$ y $N$ y luego tomar las transformadas inversas de Laplace de estos para obtener las ecuaciones finales de la contaminación para estos lagos . Ahora $s(0) = h(0) = m(0) = e(0) = n(0) = p$ ya que las condiciones iniciales son las mismas para todos los lagos.

Por lo tanto, utilizando la notación de Laplace tenemos ,

$sS - s(0) + 0.0051S = 0$

Por lo tanto, $S = \frac{p}{s+.0051}$

Del mismo modo, tenemos $M = \frac{p}{s+0.0322}$

Ahora para la ecuación diferencial (2) tenemos

$(D - \frac{68}{850})[h] + \frac{38m}{1180} - \frac{15s}{2900}=0$

Aplicando Laplace tendremos

$H = \frac{-.0322p}{(s+.0322)(s+.08)}\frac{.0051p}{(s+.0051)(s+.08)}+\frac{p}{(s+.08)}$

Del mismo modo, se puede introducir este valor de $H$ en las restantes ecuaciones diferenciales ( junto con el valor de $M$ y $S$ encontrado anteriormente para encontrar las expresiones de Laplace para $E$ y $N$ y luego tomar la inversa de Laplace de todos y se obtendrán las ecuaciones de todos los lagos .

Ahora para conseguir $5\%$ tiempo, sólo hay que poner $0.05p$ y equipararlo para obtener $t$ para cada caso .