Mañana enseñaré a mis alumnos los límites de las secuencias. He oído que la definición de límite es a menudo difícil de entender para los estudiantes, y quiero hacerlo más fácil. Pero primero necesito saber, por qué ¿sería la definición difícil de entender? ¿Demasiados cuantificadores lógicos? ¿La definición de "secuencia" en sí misma es vaga? Los ejemplos habituales no son suficientes para desarrollar la intuición?
Espero que esta pregunta no sea demasiado vaga.
Creo que el problema de introducir los límites es que los cuantificadores pueden resultar confusos para los alumnos que lo ven por primera vez. En lugar de una definición simbólica, es importante explicarla de forma pictórica, para empezar, y luego pasar a la versión "formal". Creo que "ver" algo de forma pictórica permite a los alumnos entender las ideas clave de forma sucinta y nos transmite una profundidad de comprensión que una descripción simbólica no puede igualar fácilmente. John Morgan Allman, en su libro "Evolving brains", afirma que la evolución ha funcionado $1000$ veces más en nuestras capacidades perceptivas que en nuestras capacidades de razonamiento simbólico. Un ejemplo sencillo para empezar sería considerar una secuencia $$x_n = 1-\dfrac1{2^n}, \text{ where }n \in \mathbb{N}.$$ Puede pedir a los alumnos que marquen estos puntos en la línea "real" 
y esperemos que dibujen algo como lo anterior. Ahora deberían creer que la secuencia es menor que $1$ y se puede hacer arbitrariamente cerca de $1$ . Una vez que tengan esta imagen en mente, se puede tener una definición formal del límite de la secuencia anterior.
A continuación, puede pedir a los alumnos que consideren diferentes secuencias reales y pedirles que marquen las secuencias reales en la línea "real". Por ejemplo, una secuencia real que converge a $1$ sino que oscila en torno a $1$ . Una vez que hayan jugado a marcar estas secuencias reales en la recta real, puedes introducir la definición simbólica, con los diferentes cuantificadores, para definir el límite de una secuencia general.
Desde mi punto de vista, hay dos grandes obstáculos que un aula debe superar cuando trata de enfrentarse a los límites formales.
Un gran problema con comprender la definición del límite, como has señalado, es el problema de los cuantificadores. Hay tantos, y el orden en que se emplean es tan importante, que puede ser difícil seguir la pista. (Y justo cuando creen que lo entienden, ahora tienen que lidiar con la continuidad uniforme, que a la mayoría le parecerá exactamente lo mismo que la continuidad).
Para colmo, es difícil describir un límite en un lenguaje lo suficientemente preciso como para que sea útil para resolver problemas, pero lo suficientemente suave como para que se pueda tragar fácilmente. Esto no es de extrañar; literalmente, se han hecho miles de años de matemáticas antes de que nadie tuviera la necesidad de entenderlas completamente.
Un gran problema con utilizando la definición del límite, es que se siente circular. A menudo es la primera vez que los estudiantes tienen que trabajar conscientemente ''hacia delante'' para convencerse primero de cuál es el límite antes de poder demostrarlo.
Por ejemplo, cuando se resuelve $3x+4=5$ hay una lista mecánica de procedimientos que uno puede recorrer para llegar a la respuesta. Incluso cuando se hace algo más técnico, como verificar la identidad trigonométrica $\tan^2x + 1 = \sec^2x$ , aún puedes partir de lo que se te da y llegar a la respuesta. Los estudiantes reflexivos e informados sabrán que esta lógica tiene que ejecutarse a la inversa para constituir una prueba, pero al menos hay un punto de apoyo al que agarrarse: esa ecuación original.
Pero cuando se trata de encontrar el límite de $x^2$ como $x\to 4$ Si no tienes la intuición de que la respuesta debe ser $16$ su trabajo se vuelve muy difícil. Puedes aplicar la definición de límite para tratar de encontrar un $\delta$ Pero el problema es que hay que ``saber'' cuál es el límite antes de poder interpretar qué puntos están en el $\varepsilon$ -Vecindario..
Creo que mi confusión sobre los límites de las secuencias se debe a la definición de "precisión" a la que estaba acostumbrado. Se puede decir que algo es preciso para significar que, en cierto sentido, no está desordenado. Por ejemplo, 3 divide precisamente a 9, y podemos escribir $a^2-b^2$ precisamente como $(a-b)(a+b)$ .
Cuando hablamos de dinámica o cosas así, a menudo utilizamos el teorema de Taylor para obtener una aproximación, y entonces las cosas se vuelven imprecisas. Empezamos a simplificar las cosas, a ignorar las fuerzas, a suponer masas puntuales, o cuerpos esféricamente simétricos, etc. Esto parece una forma bastante desordenada de hacer las cosas (aunque esto no pretende provocar una discusión sobre si esto es cierto o no, ¡es sólo una opinión!)
Así que cuando hablamos de límites, supongo que ayuda a trabajar con una definición diferente de preciso (o al menos, a mí me ayudó considerablemente).
Cuando hablamos de matemáticas del "mundo real", nada es exacto. Los círculos no existen, las líneas no son unidimensionales, etc. Pero dime exactamente qué quieres decir con "exacto", y puedo darte una respuesta que satisfaga tu definición. No es que pueda darte una estimación; podría literalmente estar eternamente afinando mi respuesta según los criterios que me indiques. (Es decir, dada cualquier $\varepsilon>0$ Puedo encontrar un término que esté como máximo así de lejos de lo que defino como límite, y puedo seguir para siempre como $\varepsilon$ se reduce).
No estoy tratando de explicar lo que es un límite aquí, porque obviamente ya lo sabes, pero lo que espero exponer es cómo tuve que cambiar mi idea de lo que era "matemáticas sucias" y lo que era "matemáticas limpias", y cómo los límites parecían tener más sentido al pensar en ellos como parte de las matemáticas aplicadas que de las puras.
Espero que esto ayude de alguna manera.
Esta respuesta es un mero recuerdo de mi primer contacto con el cálculo de un horrible y condescendiente instructor que hizo del cálculo la asignatura más difícil para mí. Sin embargo, ahora estoy seguro de que soy mejor que ella.
Dejando esto de lado, la razón por la que los límites eran tan difíciles es la siguiente
(i) El cálculo de límites requiere muchos fundamentos básicos de los que carecen la mayoría de los estudiantes, entre ellos los valores absolutos, las propiedades distributivas de los polinomios, conocer ciertas propiedades de las funciones (trigonométricas, exponenciales, racionales, etc...). La mayoría de los ejercicios implican la combinación de todo lo que aprendieron en el precálculo, lo que a la mayoría le falta
(ii). Otra razón es porque el cálculo es la primera vez que tendrán que ver las matemáticas de manera diferente. Quiero decir que no me sentía muy cómodo tratando con el infinito, estaba bien contar la finitud, pero ¡el infinito! También es difícil aceptar el infinito como un mero concepto y no como una cosa, lo achaco a la basura que emiten en el canal de ciencia para engañar a los incultos.
La única razón por la que TODAS las entidades de las matemáticas son difíciles de entender es la creencia aparentemente universal -inventada hace milenios por especuladores que sabían muy poco de matemáticas y prácticamente nada de nuestras otras ciencias- de que las matemáticas son abstractas porque sus objetos no están hechos de materia, negando así la realidad de todo lo que no está hecho de materia, incluyendo el lenguaje y la música y los procesos y las recetas y las personalidades y las creencias y las teorías y los sentimientos y las esperanzas y los planes y las intenciones y los gustos y los esquemas y así ad infinitum.
En el contexto de una secuencia, el concepto de límite surge del FENÓMENO muy real de una secuencia infinita que se acerca arbitrariamente pero que nunca llega a un valor determinado. Esta es una PROPIEDAD muy interesante de algunas secuencias (pero no de todas). Así que llamamos a ese valor el LÍMITE de la secuencia, lo que significa que es hacia donde se dirige la secuencia.
En el contexto de las funciones, algunas expresiones son indefinidas o indeterminadas para uno o más valores de su variable pero, al igual que las secuencias, a medida que la variable se aproxima a dicho valor, la expresión se aproxima a un valor concreto. Así que si es útil hacerlo, tiene sentido DEFINIR ese valor como el valor de la expresión EN ese valor de la variable utilizando la noción de definición a trozos de una función. Y el concepto de límite de una función EN CUALQUIER PUNTO ARBITRARIO es útil para construir un criterio de continuidad en un punto. etc.
La absurda creencia de que las matemáticas son abstractas debería haber desaparecido con los dioses y diosas múltiples y la alquimia y el flogisto y los arios, pero no lo hizo, en detrimento de millones de nosotros. La idea de que las matemáticas no pertenecen al "mundo real" es absurda e incapacitante.
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