Según mi comprensión ingenua de los aislantes topológicos, una estructura de banda invertida en el grueso (invertida con respecto al vacío/aislador trivial que lo rodea) implica la existencia de un estado sin huecos en la superficie (interfaz con el aislante trivial). ¿Es ésta también una condición suficiente? ¿Qué papel juega la Simetría Inversa del Tiempo en la existencia de estos estados de superficie?
Respuestas
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La inversión de la banda es un proceso necesario pero no condición suficiente para los aislantes topológicos (TI). Para los TI de banda es necesario evaluar la condición topológica (o $\mathbb{Z}_{2}$ ) definida por Fu, Kane y Mele en la Ecuación (2) de:
Liang Fu, Charles L. Kane y Eugene J. Mele. " Aisladores topológicos en tres dimensiones ." Physical Review Letters 98 , nº 10 (2007): 106803. ( arXiv )
Este enfoque implica el cálculo del pfaffiano de una matriz cuyos componentes son los valores de la expectativa del operador de inversión del tiempo entre diferentes bandas de Bloch. Personalmente, no encuentro este enfoque muy intuitivo. Así que permítanme escoger un caso más sencillo en el que el material tiene simetría de inversión; en este caso la Ec. (2) del artículo anterior se reduce a la Ec. (1.2) de:
Liang Fu y Charles L. Kane. " Aisladores topológicos con simetría de inversión ." Revista Física B 76 , no. 4 (2007): 045302. ( arXiv )
donde $\delta_{i}$ se define en la Ecuación (3.10) en términos de las paridades de banda $\xi_{2n}$ . Combinando las ecuaciones (1.2) y (3.10) obtenemos $$(-1)^{\nu}=\prod_{i=1}^{8}\prod_{n=1}^{N}\xi_{2n}(\Lambda_{i})$$ para un aislante topológico 3D (tenemos 8 valores de $\Lambda_{i}$ en 3D).
La ecuación anterior dice básicamente que la paridad global de todos los rellenado Las bandas de Bloch, evaluadas en los valores del Momento Invariante del Tiempo (TRIM) ( $\Lambda_{i}$ ), determina el invariante topológico ( $\nu$ ) del aislante. Por ejemplo, si (digamos) la banda de conducción (digamos $s$ -) y la banda de valencia (digamos $p$ -) tienen incluso ( $\xi_{2n} = +1$ ) e impar ( $\xi_{2n} = -1$ ) en un TRIM respectivamente, y se produce una inversión de banda entre sólo esas bandas, entonces el producto de las paridades de las bandas del rellenado las bandas recogerían un signo menos extra. En este caso, la inversión de bandas significa una transición de fase topológica. En otras palabras, el número de inversiones de banda que se producen entre bandas de paridad opuesta tiene que ser impar para obtener un TI. Una vez más, esto es cierto para los aislantes de inversión simétrica; no tenemos más remedio que utilizar la primera fórmula (más complicada) para un aislante de inversión asimétrica. Sin embargo, el caso más sencillo (de inversión simétrica) ha servido para ilustrar las sutilezas de la inversión de bandas.
En cuanto a tu segunda pregunta, la respuesta es que la simetría temporal garantiza al menos un par de estados de borde sin huecos (o al menos un cono de Dirac) en un borde (cara) de un aislante topológico 2D (3D). Esto tiene que ver con la elusión del teorema de duplicación de fermiones en un borde (cara) concreto de un aislante topológico 2D (3D). Para simplificar, permítanme limitarme al caso 2D. Debido a la topología no trivial en un TI, un TI 2D tendrá pares Impares (o pares Kramers) de estados de borde. Por ejemplo, véase la figura siguiente. Los bloques púrpuras son los estados a granel, mientras que las líneas rojas y azules son los estados de borde dentro de la brecha (es decir, la brecha a granel).
A la izquierda, se puede ver que el aislante tiene (digamos) cinco pares de estados de borde sin huecos. Las bandas rojas y azules con simetría de espejo son pares de Kramers entre sí. Aquí hay un buen truco: la simetría temporal existe si y sólo si las bandas roja y azul son imágenes especulares la una de la otra. Debido a esta restricción, los pares de estados de los bordes se pueden separar en pares (es decir, cuatro estados se separan simultáneamente). Ahora, es fácil ver que si tenemos pares de estados de borde Impares para empezar, es posible separar todos los excepto el último par de estados de borde sin romper la simetría de inversión del tiempo. Esto se muestra en la figura de la derecha. En este sentido, el par de estados de borde está protegido por la simetría de inversión temporal.
j0chn
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