Es la función fila relativa con respecto a un haz de amplia línea no-decreciente

Question

Permítanme la pregunta en el título más preciso.

Sea $f:X\to$Spec $k$ una variedad conectada proyectiva lisa sobre un $k$ del campo de característica cero. Que $\mathcal L$ sea un haz de línea en $X$. En mi configuración este paquete línea tiene muchas propiedades de la positividad, por ejemplo, es amplio.

¿Es el función $m\mapsto$ rango de $f_\ast\mathcal L^{\otimes m}$ una función no decreciente?

¿Es decir, tiene la desigualdad de rango $f_\ast(\mathcal L^{\otimes m}) \leq$fila $f_\ast(\mathcal L^{m+1})$ % todo $m\geq 1$?

Answer 1

La respuesta es sí: de hecho, $f_\ast$ queda exacto (es sólo el functor de secciones globales). Además, puesto que $X$ es no singular, existe un divisor efectivo $D$ $X$ tal que $\mathcal L = \mathcal O_X(D)$ (no estoy seguro de esto). Es fácil ver que $0\to\mathcal O_X (-D) \to \mathcal O_X$ es exacta. Tensor con $\mathcal L^{m+1}$ obtener ese $\mathcal L^{m}$ inyecta en $\mathcal L^{m+1}$. Ahora, aplicar la izquierda exactitud de $f_\ast$ para obtener una inyección de $H^0(X,\mathcal L^m)$ $H^0(X,\mathcal L^{m+1})$.