¿Probar que este conjunto es compacto?

Question

Definimos $\mathcal{E}:=\{E \subseteq \mathbb{N^2} : \text{$ E $ is a reflexive and symmetric relation}\} \subseteq \{0,1\}^\mathbb{N^2}$ .

Tengo que demostrar que $\mathcal{E}$ es compacta para la topología del producto.

Mi idea es demostrar que $\{0,1\}^\mathbb{N^2}$ es compacto y $\mathcal{E}$ está cerrado en este compacto.

Por el teorema de Tychonoff el conjunto $\{0,1\}^\mathbb{N^2}$ es compacto (creo que $\{0,1\}$ tiene la propiedad Borel-Lebesgue por lo que es compacta).

Ahora, no tengo idea para probar que $\mathcal{E}$ está cerrado (¿qué argumento podría utilizar?).

Gracias de antemano.

Answer 1

$\{0,1\}$ es compacto simplemente porque es finito. El espacio $\{0,1\}^{\Bbb N^2}$ es homeomorfo al conjunto Cantor de tercios medios, por cierto.

SUGERENCIA: Supongamos primero que $A\subseteq\Bbb N^2$ no es reflexivo; entonces existe un $n\in\Bbb N$ tal que $\langle n,n\rangle\notin A$ .

• Demuestra que $\{U\subseteq\Bbb N^2:\langle n,n\rangle\notin U\}$ es un nbhd abierto de $A$ disjuntos de $\mathscr{E}$ . (Esto se deduce inmediatamente de la definición de la topología del producto).

Supongamos ahora que $A$ no es simétrica; entonces hay $m,n\in\Bbb N$ tal que $m\ne n$ , $\langle m,n\rangle\in A$ y $\langle n,m\rangle\notin A$ .

• Demuestra que $\{U\subseteq\Bbb N^2:\langle m,n\rangle\in U\text{ and }\langle n,m\rangle\notin U\}$ es un nbhd abierto de $A$ disjuntos de $\mathscr{E}$ . (Esto también se deduce inmediatamente de la definición de la topología del producto).

Answer 2

Se puede demostrar más, tanto todas las relaciones reflexivas como todas las simétricas son cerradas por separado, y también lo es su intersección. Pista: Observa que $(x, y) E \iff _{x, y}(E) = 1$ .