¿Ocupa el powerset de cada Dedekind-finito Dedekind-finito?

Question

Es el powerset de cada Dedekind-conjunto finito Dedekind-finito?

Creo que esta afirmación puede ser escrito en $\textbf{Set}$: Si cada mono (=inyección) $f: A \to A$ es la iso (=bijection), cada mono $g: 2^A \to 2^A$ es la iso.

(Por favor, edite, si es necesario)

La respuesta depende de algún principio de Elección?

Con la mano no veo un referente a esto. La entrada de Wikipedia para Dedekind-infinito únicamente a los estados que el powerset de un D-conjunto infinito es D-infinito. (He intentado buscar las Matemáticas.SE con el obvio de las palabras clave y se enfrentó a ~5k de entradas).

Answer 1

El siguiente es implícito en las respuestas dadas por Andrés y de Asaf, pero parece más sencillo, por lo que valdría la pena hacer explícito. Deje $X$ ser cualquier conjunto infinito, posiblemente Dedekind-infinito. Deje $F$ ser la función con dominio de $\omega$ define asignando a cada número natural $n$ la familia de todos los $n$-elemento de subconjuntos de a $X$. A continuación, $F$ es un uno-a-uno de la función de $\omega$ a $\mathcal P(\mathcal P(X))$, el juego de poder de el juego de poder de $X$. Así que si $X$ es D-finito, entonces cualquiera de las $X$ sí o $\mathcal P(X)$ es un D-conjunto finito con D-el poder infinito de conjunto.

Answer 2

No sin cierta elección. De hecho, si el juego de poder de cada D-conjunto finito es D-finito, entonces no hay infinito D-finito de conjuntos.

De ello se deduce a partir de los siguientes resultados:

1. Si $f\colon X\to\omega$ es surjective, a continuación, $\mathcal P(X)$ es D-infinito.

   Para ver que esto tiene, tenga en cuenta que $n\mapsto\{x\in X\mid f(x)=n\}$ es una inyección de $\omega$ a $\mathcal P(X)$, y este es un equivalente de la condición de D-infinito.

2. Si $X$ es infinito, $\mathcal P(X)$ pueden ser mapeadas a $\omega$.

   A ver esto es que podemos usar el mapa: $A\mapsto\begin{cases} 0 & A\text{ infinite}\\ |A| &\text{otherwise.}\end{cases}$ es surjective porque $X$ es infinito.

Ahora es la siguiente, si $X$ es un infinito D-conjunto finito, $\mathcal P(X)$ es D-infinito y hemos terminado; o $\mathcal P(X)$ es D-finito y puede ser asignada a $\omega$, por lo $\mathcal{P(P(}X))$ es el poder de un D-conjunto finito, y es D-infinito.

---

Un poco de coherencia observaciones:

1. Es coherente que no hay infinito Dedekind-finito de conjuntos que no pueden ser mapeadas a $\omega$. Por ejemplo, en Cohen del primer modelo.

2. Es coherente que no infinito Dedekind-finito de conjuntos que no pueden ser mapeadas a $\omega$. Por ejemplo, en los modelos donde hay un amorfo conjuntos (sets, que no puede ser escrito como un discontinuo de la unión de dos conjuntos infinitos).

3. El axioma "Todo contables $\cal A$ de los no-vacía de conjuntos tiene una infinita $\cal B\subseteq A$ tal que $\prod\cal B\neq\varnothing$", que es más débil de lo contables elección adecuada, implica que cada D-finito es finito, lo que implica que el poder de un D-conjunto finito es D-finito.

Answer 3

Revisa esto relacionado con la pregunta de algunas equivalencias a esa declaración (y con suerte, una respuesta a tu pregunta). En particular, es equivalente al principio de elección (muy débil) "D-finito = finito".

Answer 4

No: Supongamos $X$ es infinito. Entonces hay una surjection de la colección de $Fin(X)$ de los subconjuntos finitos de $X$ a $\omega$, es decir, $Y\mapsto|Y|$. Desde $Fin(X)\subseteq\mathcal P(X)$, obtenemos un surjection de $\mathcal P(X)$ a $\omega$.

Pero si hay un surjection $\varphi$ $A$ a $B$, entonces no es una inyección de $\mathcal P(B)$ a $\mathcal P(A)$, es decir,$Y\mapsto \varphi^{-1}(Y)=\{a\in A\mid \varphi(a)\in Y\}$.

En particular, $\mathcal P(\omega)$ (y, por tanto,$\omega$) inyecta en $\mathcal P(\mathcal P(X))$ para cualquier conjunto infinito $X$. Es decir que el $\mathcal P(\mathcal P(X))$ es siempre finito, o D-infinito.

Por otro lado, es coherente que hay D-finito de conjuntos infinitos $A$ tal que $\mathcal P(A)$ D-finito. Por ejemplo, cualquier amorfo set $A$ es como este. Recordemos que $A$ amorfo iff es infinito, pero en cualquier subconjunto de a $A$ es finito, o ha finito complemento en $A$.

La razón de esto es que si $A$ amorfo, entonces no hay surjection de $A$ a $\omega$. Pero uno puede comprobar que los siguientes son equivalentes para cualquier $X$:

• $\omega$ inyecta en $\mathcal P(X)$,
• $X$ surjects en $\omega$.

Por lo tanto, si $A$ amorfo, $\mathcal P(A)$ es D-finito. Vea este blog post de la mina para llegar a este resultado, debido a Kuratowski.