Dar una secuencia concreta de racionales que converja a un número irracional y viceversa.

Question

Dé una secuencia concreta de racionales que converja a un número irracional y viceversa....

Mi trabajo

Podría dar una secuencia de irracionales que converja a un número racional...

Dejemos que $r\in \mathbb Q,$ $$a_n=\frac {\sqrt 2} n+r$$ Pero no pude dar una secuencia de racionales que converja a un irracional.. Ayúdame a resolverlo.....

Answer 1

$a_n = \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n $ converge a $e$

Answer 2

¿Qué tal si $a_n$ = la expansión decimal de $\sqrt{2}$ hasta el $n$ -en el cuarto lugar

Una definición formal podría ser $$a_n = \lfloor 10^n\sqrt{2} \rfloor 10^{-n} $$

Answer 3

Tomar cocientes de números de Fibonacci consecutivos: $\frac11,\frac21,\frac32,\frac53,\frac85,\dots$ . Es bien sabido que esto converge a la proporción áurea $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ que es irracional.

Answer 4

Considere la secuencia $$0.1, 0.101, 0.101001, 0.1010010001, 0.101001000100001, 0.101001000100001000001,\dots.$$ Esto converge a $\alpha=0.101001000100001000001\cdots$ . La expansión decimal de $\alpha$ no es finalmente periódica, por lo que $\alpha$ es irracional.

Answer 5

Cualquier serie de Taylor que converja a un irracional funcionaría. Por ejemplo

$$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = e$$

Elija cualquier número irracional, elija una función que lo calcule dada una entrada racional, entonces la serie taylor de esa función alrededor de esa entrada cumplirá los requisitos.