El grupo de automorfismos de una superficie hiperbólica compacta de Riemann es finito

Question

Dejemos que $M$ sea una superficie hiperbólica compacta de Riemann. ¿Existe una forma sencilla de demostrar que el grupo de automorfismo $Aut(M)$ de autoconformación de $M$ es un grupo finito?

Recordemos que una superficie hiperbólica de Riemann es aquella cuya cubierta universal es $\mathbb D$ .

Esperaba que hubiera alguna forma de utilizar la teoría básica de los espacios de cobertura (especialmente las diversas relaciones tipo Galois entre grupos y coberturas) y el hecho de que el grupo de automorfismos del disco unitario es $PSL(2,\mathbb R)$ , ya que sabemos que $\mathbb D/ G\cong M$ , donde $G$ es el grupo de cobertura de $M$ . Pero hace tiempo que no estudio la teoría del espacio de cobertura, y no estoy seguro de que esta idea pueda funcionar. En particular, no estoy seguro de cómo hacer uso de la hipótesis de que $M$ es compacto.

Answer 1

Se puede hacer esto utilizando la teoría de los espacios de cobertura. Aunque no conozco ningún enfoque "directo".

Mediante un tratamiento cuidadoso pero bastante elemental de los subgrupos de $PSL(2, \mathbb{R})$ se puede demostrar que, hasta la conjugación, los únicos subgrupos discretos que actúan libremente sobre el disco unitario y tienen normalizador dimensional positivo son los grupos generados por $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}$ con $a\in \mathbb{R}- \{0\}$ o el grupo generado por $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

El cociente en el primer caso te da los ánulos. En el segundo caso se obtiene el disco unitario perforado. (Así pues, éstas son las únicas superficies hiperbólicas de Riemann cuyo grupo de automorfismo es de dimensión positiva)

Por lo tanto, cualquier superficie hiperbólica compacta X tiene un grupo de automorfismo discreto, que entonces tiene que ser finito debido a la compacidad de X. (Cualquier órbita en X es discreta, por lo tanto finita ya que X es compacto)

Answer 2

El resultado se desprende también del teorema de Bochner, porque para las superficies la curvatura gaussiana negativa es equivalente a la curvatura de Ricci negativa, y por $g\ge 2$ que $M$ tiene una métrica hiperbólica $g$ con $Aut(M)=Isom^+(M,g)$ .

Teorema (Bochner) . Sea $(M^n,g)$ sea una variedad riemanniana compacta de dimensión $n$ con curvatura de Ricci negativa en todas partes, entonces el grupo de isometría de $M$ es finito.

Aquí utilizamos que $M$ es compacto para concluir que también $Isom(M)$ es compacto. Entonces podemos proceder a demostrar que la componente conectada $of Isom(M)$ que contiene la identidad, $Isom^0(M)$ , es sólo la identidad.