¿Trigonometría - cómo simplificar esta expresión?

Question

Tenemos la expresión %#% $ #%

Al parecer la respuesta es 12 y hay que simplificarlo, y supongo que significa que tengo que mostrar de que 12, sin utilizar una calculadora.

Normalmente muestro mi trabajo en las preguntas, pero en este caso no tengo absolutamente ninguna pista cómo a. Lo unico que conozco que podría ayudar es que $$ 13 \sin [ \tan ^{-1} (\dfrac{12}{5}) ] $.

Answer 1

Aquí es una aproximación. Deje que

$$ y=13 \sin \left( \tan ^{-1} (\dfrac{12}{5}) \right) \implies \sin \left( \tan ^{-1} (\dfrac{12}{5}) \right)=\frac{y}{13} \longrightarrow (1)$$

$$ \implies \cos \left( \tan ^{-1} (\dfrac{12}{5}) \right)=\sqrt{1-\left(\frac{y}{13}\right)^2} \longrightarrow (2). $$

Ahora, dividiendo $(1)$ $(2)$ y simplificando da

$$ 12^213^3-13^2y^2=0\implies y=\pm 12 \implies y=12. $$

Nota: Utilizamos la identidad

$$ \tan(\tan^{-1}(x))=x. $$

Answer 2

Tiene el triángulo Pytagoric lados $5$, $12$ y $13$ y usar las definiciones de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Answer 3

Que $\displaystyle\tan^{-1}\frac{12}5=\theta$

$\displaystyle\implies(i)\tan\theta=\frac{12}5$

y $\displaystyle(ii)-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2 $ (usando la definición del valor principal)

$\displaystyle\implies\cos\theta\ge0$

$\displaystyle\implies\cos\theta=\frac1{\sec\theta}=+\frac1{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\cdots$

$\displaystyle\implies \sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\theta=\cdots$

Answer 4

$\tan^{-1} \left({\frac{12}{5}}\right)\in (0,\frac{\pi}{2})$ $\frac{12}{5}>0$ ahora vemos $\tan^{-1}\left({\frac{12}{5}}\right)=\sin^{-1}\left({+\frac{12}{13}}\right)$. Así que la expresión dada es $13.\frac{12}{13}=12$ y probado.